Реши задание на изображении

Краткий ответ: данный параллелограмм — ромб, поэтому его диагонали перпендикулярны.

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AD\), а \(A\) — указанная вершина.

По условию:

\[ AM=AN. \]

Так как \(M\) и \(N\) — середины соответствующих сторон,

\[ AM=\frac{AB}{2}, \qquad AN=\frac{AD}{2}. \]

Следовательно,

\[ \frac{AB}{2}=\frac{AD}{2} \quad\Rightarrow\quad AB=AD. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому равны все четыре стороны:

\[ AB=BC=CD=DA. \]

Значит, \(ABCD\) — ромб.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В ромбе:

• \(AB=AD\);
• \(OB=OD\), так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
• \(AO\) — общая сторона.

Поэтому треугольники \(AOB\) и \(AOD\) равны по трём сторонам. Значит,

\[ \angle AOB=\angle AOD. \]

Эти углы смежные, поэтому каждый равен \(90^\circ\). Следовательно,

\[ \boxed{AC\perp BD}. \]

Проверка в векторной форме:

\[ \vec{AC}\cdot\vec{BD} =(\vec{AB}+\vec{AD})\cdot(\vec{AD}-\vec{AB}) =AD^2-AB^2=0, \]

значит, диагонали действительно перпендикулярны.