Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- а) да; б) нет.
- а) да; б) нет.
События \(A\) и \(B\) независимы, если
\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B). \]
1. Два броска игральной кости
Всего возможны \(6\cdot 6=36\) равновероятных исходов.
а) \(A\): на первом броске выпала шестёрка;
\(B\): на втором броске выпало меньше трёх очков
\[ P(A)=\frac16,\qquad P(B)=\frac26=\frac13. \]
События \(A\) и \(B\) происходят одновременно в двух случаях:
\[ (6;1),\ (6;2). \]
Поэтому
\[ P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac1{18}. \]
Проверим:
\[ P(A)P(B)=\frac16\cdot\frac13=\frac1{18}. \]
Вероятности равны, значит, события независимы.
б) \(A\): на первом броске выпало больше трёх очков;
\(B\): сумма очков меньше девяти
Для события \(A\):
\[ A=\{4,5,6\},\qquad P(A)=\frac36=\frac12. \]
Сумма меньше 9 в \(26\) случаях из \(36\):
\[ P(B)=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}. \]
Найдём число исходов, когда одновременно выполняются \(A\) и \(B\):
- первое число \(4\): второе может быть \(1,2,3,4\) — \(4\) исхода;
- первое число \(5\): второе может быть \(1,2,3\) — \(3\) исхода;
- первое число \(6\): второе может быть \(1,2\) — \(2\) исхода.
Всего:
\[ 4+3+2=9, \qquad P(A\cap B)=\frac9{36}=\frac14. \]
Но
\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac{13}{18} =\frac{13}{36}. \]
Так как
\[ \frac14\ne\frac{13}{36}, \]
события зависимы.
2. Один бросок игральной кости
Событие \(A\): выпало чётное число:
\[ A=\{2,4,6\},\qquad P(A)=\frac36=\frac12. \]
а) \(B\): выпало число, кратное 3
\[ B=\{3,6\},\qquad P(B)=\frac26=\frac13. \]
Одновременно выполняются оба события только при выпадении \(6\):
\[ A\cap B=\{6\},\qquad P(A\cap B)=\frac16. \]
Проверяем:
\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac13=\frac16. \]
Следовательно, события независимы.
б) \(B\): выпало число, кратное 5
На игральной кости это только число \(5\):
\[ P(B)=\frac16. \]
Число \(5\) нечётное, поэтому одновременно события \(A\) и \(B\) произойти не могут:
\[ P(A\cap B)=0. \]
Но
\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}. \]
Так как
\[ 0\ne\frac1{12}, \]
события зависимы.
Алгоритм для похожих задач: найти \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\), а затем сравнить \(P(A\cap B)\) и \(P(A)P(B)\).
