Реши задание на изображении
Решение квадратного уравнения
Я перемножаю \(x(x-2)\) и составляю уравнение: \(3(x-2) + 2x = 3x(x-2)\). После упрощения получаю \(3x² - 11x + 6 = 0\). Теперь я хочу разложить его на множители. Дискриминант равен 49, поэтому корни равны \((11±7)/6\), что упрощается до 3 и 2/3. Оба значения являются допустимыми решениями, поэтому я проверю их: при \(x = 3\) значения складываются правильно, а для \(2/3\) вычисления также сходятся!
Анализ уравнений и корней
Я решаю несколько уравнений. Для первого набора я перемножаю \(x(x+1)\), чтобы получить квадратное уравнение, и в итоге нахожу корни \(2 \pm \sqrt{6}\). Оба корня допустимы в заданной области. Затем я анализирую второе уравнение с корнями и обнаруживаю эквивалентную форму. Символ в правой части изображения выглядит неоднозначно: это может быть «0» или, возможно, «P». Мне нужно подтвердить, что именно он обозначает, чтобы обеспечить ясность для пользователя.
Рассмотрение вариантов интерпретации
Я интерпретирую правую часть пятого примера как «0», но, поскольку возможна неоднозначность, стоит рассмотреть возможность попросить уточнение. Разработчик рекомендует не делать предположений, если изображение неясно, однако оно выглядит достаточно разборчивым. Я могу явно отметить свою интерпретацию и при этом ответить на исходный вопрос. Я начну с кратких ответов для каждого примера: \(x = 8\) для 1, \(x = 3\) для 2, \(x = 2/3\) и 3 для 3, \(x = 2±√6\) для 4 и \(x = 1\) для 5. Я также изложу основные шаги!
Проверка алгебраических уравнений
Я проверяю, что \(2 - \sqrt{6}\) приблизительно равно -0.449, и думаю, что подстановка может подтвердить это алгебраически.
Для уравнения \(\frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3} = 0\) я вижу, что в области допустимых значений \(x \neq \pm 3\). После умножения и упрощения я получаю \(x = 1\). Я проверю корни, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходным уравнениям, поскольку умножение на ненулевые знаменатели сохраняет равносильность. Для ясности я могу составить таблицу со значениями после подстановки.
Уточнение полиномиальных уравнений
Мне нужно убедиться, что я не ошибочно упоминаю умножение на общий знаменатель, если речь идёт о полиномиальном уравнении. Поскольку значения из области ограничены, это равносильно.
Я думаю о составлении краткого ответа для вопроса №5 с акцентом на важные замечания. Следует выполнить такие шаги: определить область допустимых значений (ОДЗ), умножить на наименьший общий знаменатель (НОЗ), решить уравнение, исключить запрещённые значения и проверить решения.
Похоже, возникла некоторая путаница с символами, но я изложу объяснение без внешних ссылок.
Краткий ответ
В 5-м примере читаю правую часть как \(0\).
- \(\boxed{x=8}\)
- \(\boxed{x=3}\)
- \(\boxed{x=\frac23;\ x=3}\)
- \(\boxed{x=2-\sqrt6;\ x=2+\sqrt6}\)
- \(\boxed{x=1}\)
Решение
Общий принцип: сначала записываем ОДЗ — знаменатели не должны быть равны нулю. Затем умножаем всё уравнение на общий знаменатель.
1) \(\dfrac4x=\dfrac3{x-2}\)
ОДЗ: \(x\ne0,\ x\ne2\).
\[ 4(x-2)=3x \]
\[ 4x-8=3x \]
\[ \boxed{x=8} \]
Проверка:
\[ \frac48=\frac36=\frac12. \]
2) \(\dfrac1{2x-1}=\dfrac2{3x+1}\)
ОДЗ:
\[ 2x-1\ne0 \Rightarrow x\ne\frac12, \qquad 3x+1\ne0 \Rightarrow x\ne-\frac13. \]
\[ 3x+1=2(2x-1) \]
\[ 3x+1=4x-2 \]
\[ \boxed{x=3} \]
Проверка:
\[ \frac1{2\cdot3-1}=\frac15, \qquad \frac2{3\cdot3+1}=\frac2{10}=\frac15. \]
3) \(\dfrac3x+\dfrac2{x-2}=3\)
ОДЗ: \(x\ne0,\ x\ne2\).
Умножим на \(x(x-2)\):
\[ 3(x-2)+2x=3x(x-2) \]
\[ 3x-6+2x=3x^2-6x \]
\[ 3x^2-11x+6=0 \]
Разложим на множители:
\[ (3x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=\frac23 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Оба значения подходят:
\[ \boxed{x=\frac23;\ x=3}. \]
4) \(\dfrac2x+\dfrac3{x+1}=1\)
ОДЗ: \(x\ne0,\ x\ne-1\).
Умножим на \(x(x+1)\):
\[ 2(x+1)+3x=x(x+1) \]
\[ 2x+2+3x=x^2+x \]
\[ x^2-4x-2=0 \]
По формуле корней:
\[ x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}2 \]
\[ x=\frac{4\pm\sqrt{24}}2 =2\pm\sqrt6. \]
Оба корня не нарушают ОДЗ:
\[ \boxed{x=2-\sqrt6;\ x=2+\sqrt6}. \]
5) \(\dfrac1{x-3}+\dfrac2{x+3}=0\)
ОДЗ: \(x\ne3,\ x\ne-3\).
Умножим на \((x-3)(x+3)\):
\[ (x+3)+2(x-3)=0 \]
\[ x+3+2x-6=0 \]
\[ 3x-3=0 \]
\[ \boxed{x=1}. \]
Проверка:
\[ \frac1{1-3}+\frac2{1+3} =-\frac12+\frac12=0. \]
Важно: после умножения на общий знаменатель всегда нужно проверить, не попал ли найденный корень в запрещённые значения ОДЗ.
