4.30 дұрыс жауап нақты

Қысқа жауап:

1. \(\displaystyle \frac{2(\sqrt a+\sqrt c)}{\sqrt a}\);

2. \(\displaystyle \frac{\sqrt2}{4}\);

3. \(\displaystyle \frac{x(5x+3y-2\sqrt3)}{6(x-\sqrt3)(x-y)}\);

4. \(\displaystyle \sqrt c+\sqrt a\).

Шешуі

1) Бөлшектерді түрлендірейік: \[ \frac{a-c}{\sqrt a-\sqrt c}=\sqrt a+\sqrt c, \] \[ \frac{a-2}{a-\sqrt{2a}} =\frac{(\sqrt a-\sqrt2)(\sqrt a+\sqrt2)} {\sqrt a(\sqrt a-\sqrt2)} =\frac{\sqrt a+\sqrt2}{\sqrt a}. \] Ал \[ \sqrt2-\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt a+\sqrt2} =\sqrt2-\frac{\sqrt2\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt2} =\frac{2}{\sqrt a+\sqrt2}. \] Сонда \[ E_1=(\sqrt a+\sqrt c)\cdot \frac{\sqrt a+\sqrt2}{\sqrt a}\cdot \frac{2}{\sqrt a+\sqrt2} =\boxed{\frac{2(\sqrt a+\sqrt c)}{\sqrt a}}. \]

2) \[ \begin{aligned} E_2&=\left[\left(\frac{a^2}{2}+1\right)^2- \left(\frac a{\sqrt2}\right)^2\right] \frac{\sqrt2}{a^4+2a^2+4}\\ &=\left(\frac{a^4}{4}+\frac{a^2}{2}+1\right) \frac{\sqrt2}{a^4+2a^2+4}\\ &=\frac{a^4+2a^2+4}{4} \cdot\frac{\sqrt2}{a^4+2a^2+4} =\boxed{\frac{\sqrt2}{4}}. \end{aligned} \]

3) \(r=\sqrt3\) деп алайық.
\[ x^2-xy+y\sqrt3-x\sqrt3=(x-\sqrt3)(x-y). \] Сонда \[ \begin{aligned} E_3&=\frac{(x+2r)(3y-x)}{6(x-r)(x-y)} +\frac{x^2-yr}{(x-r)(x-y)}\\ &=\frac{(x+2r)(3y-x)+6(x^2-yr)} {6(x-r)(x-y)}\\ &=\frac{5x^2+3xy-2xr}{6(x-r)(x-y)}\\ &=\boxed{\frac{x(5x+3y-2\sqrt3)} {6(x-\sqrt3)(x-y)}}. \end{aligned} \]

4) \(p=\sqrt c,\ q=\sqrt a\) болсын. Онда \[ c-a=(p-q)(p+q),\qquad \sqrt{ac}=pq. \] Бірінші жақша: \[ \frac p{p+q}+\frac q{p-q} +\frac{2pq}{(p-q)(p+q)} =\frac{p+q}{p-q}. \] Екінші жақша: \[ p-\frac{pq+q^2}{p+q}=p-q. \] Сондықтан \[ E_4=\frac{p+q}{p-q}(p-q)=p+q =\boxed{\sqrt c+\sqrt a}. \]

Нәтижелер бастапқы өрнек анықталған мәндер үшін дұрыс.