Номер 80
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&x+\frac1y=\frac{xy+1}{y};\\ \text{б)}\;&\frac1a-a=\frac{1-a^2}{a};\\ \text{в)}\;&3a-\frac a4=\frac{11a}{4};\\ \text{г)}\;&5b-\frac2b=\frac{5b^2-2}{b};\\ \text{д)}\;&\frac{a^2+b}{a}-a=\frac ba;\\ \text{е)}\;&2p-\frac{4p^2+1}{2p}=-\frac1{2p};\\ \text{ж)}\;&\frac{(a-b)^2}{2a}+b=\frac{a^2+b^2}{2a};\\ \text{з)}\;&c-\frac{(b+c)^2}{2b}=-\frac{b^2+c^2}{2b}. \end{aligned} \]
Решение
Чтобы сложить или вычесть выражения, приводим их к общему знаменателю:
\[ \text{а)}\quad x+\frac1y=\frac{xy}{y}+\frac1y=\frac{xy+1}{y}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac1a-a=\frac1a-\frac{a^2}{a} =\frac{1-a^2}{a}. \]
\[ \text{в)}\quad 3a-\frac a4=\frac{12a}{4}-\frac a4 =\frac{11a}{4}. \]
\[ \text{г)}\quad 5b-\frac2b=\frac{5b^2}{b}-\frac2b =\frac{5b^2-2}{b}. \]
\[ \text{д)}\quad \frac{a^2+b}{a}-a =\frac{a^2+b-a^2}{a} =\frac ba. \]
\[ \text{е)}\quad 2p-\frac{4p^2+1}{2p} =\frac{4p^2-(4p^2+1)}{2p} =-\frac1{2p}. \]
\[ \text{ж)}\quad \frac{(a-b)^2}{2a}+b =\frac{(a-b)^2+2ab}{2a} =\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{2a} =\frac{a^2+b^2}{2a}. \]
\[ \text{з)}\quad c-\frac{(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc-(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc-b^2-2bc-c^2}{2b} =-\frac{b^2+c^2}{2b}. \]
Ограничения: \(y\ne0,\ a\ne0,\ b\ne0,\ p\ne0\) там, где эти переменные стоят в знаменателе.
Обсуждение
6 сообщенийА чтоб к общему знаменателю в примере (а) привести нужно y во второй степени написать?если нет то напиши везде знаменатели
Нет, в примере (а) достаточно знаменателя \(y\), а не \(y^2\):
\[ x+\frac1y=\frac{xy}{y}+\frac1y=\frac{xy+1}{y}. \]
Число \(x\) можно представить как дробь со знаменателем \(y\):
\[
x=\frac{xy}{y}.
\]
Вот все примеры с явно записанными знаменателями:
\[ \text{а)}\quad x+\frac1y =\frac{xy}{y}+\frac1y =\frac{xy+1}{y}. \]
\[ \text{б)}\quad \frac1a-a =\frac1a-\frac{a^2}{a} =\frac{1-a^2}{a}. \]
\[ \text{в)}\quad 3a-\frac a4 =\frac{12a}{4}-\frac a4 =\frac{11a}{4}. \]
\[ \text{г)}\quad 5b-\frac2b =\frac{5b^2}{b}-\frac2b =\frac{5b^2-2}{b}. \]
\[ \text{д)}\quad \frac{a^2+b}{a}-a =\frac{a^2+b}{a}-\frac{a^2}{a} =\frac{b}{a}. \]
\[ \text{е)}\quad 2p-\frac{4p^2+1}{2p} =\frac{4p^2}{2p}-\frac{4p^2+1}{2p} =-\frac1{2p}. \]
\[ \text{ж)}\quad \frac{(a-b)^2}{2a}+b =\frac{(a-b)^2}{2a}+\frac{2ab}{2a} =\frac{(a-b)^2+2ab}{2a} =\frac{a^2+b^2}{2a}. \]
\[ \text{з)}\quad c-\frac{(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc}{2b}-\frac{(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc-(b+c)^2}{2b} =-\frac{b^2+c^2}{2b}. \]
Знаменатель записываем один раз в каждом слагаемом, чтобы затем сложить или вычесть числители.
Напиши с ними чтоб я просто переписал
Перепиши так:
\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &x+\frac{1}{y} =\frac{xy}{y}+\frac{1}{y} =\frac{xy+1}{y};\\[6pt] \text{б)}\quad &\frac{1}{a}-a =\frac{1}{a}-\frac{a^2}{a} =\frac{1-a^2}{a};\\[6pt] \text{в)}\quad &3a-\frac{a}{4} =\frac{12a}{4}-\frac{a}{4} =\frac{11a}{4};\\[6pt] \text{г)}\quad &5b-\frac{2}{b} =\frac{5b^2}{b}-\frac{2}{b} =\frac{5b^2-2}{b};\\[6pt] \text{д)}\quad &\frac{a^2+b}{a}-a =\frac{a^2+b}{a}-\frac{a^2}{a} =\frac{b}{a};\\[6pt] \text{е)}\quad &2p-\frac{4p^2+1}{2p} =\frac{4p^2}{2p}-\frac{4p^2+1}{2p} =-\frac{1}{2p};\\[6pt] \text{ж)}\quad &\frac{(a-b)^2}{2a}+b =\frac{(a-b)^2}{2a}+\frac{2ab}{2a}\\ &=\frac{(a-b)^2+2ab}{2a} =\frac{a^2+b^2}{2a};\\[6pt] \text{з)}\quad &c-\frac{(b+c)^2}{2b} =\frac{2bc}{2b}-\frac{(b+c)^2}{2b}\\ &=\frac{2bc-(b+c)^2}{2b} =-\frac{b^2+c^2}{2b}. \end{aligned} \]
А в примера (а) нельзя игрик сократить
Можно сократить \(y\) только в первом слагаемом:
\[ \frac{xy}{y}=x \quad (y\ne0). \]
Но в дроби
\[ \frac{xy+1}{y} \]
сокращать \(y\) нельзя, потому что числитель — это сумма \(xy+1\), а сокращать через знак «+» нельзя.
Поэтому правильно:
\[ x+\frac1y=\frac{xy}{y}+\frac1y=\frac{xy+1}{y}. \]
