Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение текущей учебной цели: изображение прислано в ответ на просьбу прикрепить его. На нём — набор упражнений по функциям, который нужно рассмотреть дальше.

Решу все задания с изображения.

1. Найти область определения

1. \[ y=(x-2)^{\frac16}=\sqrt[6]{x-2} \] \[ x-2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad D(y)=[2;+\infty). \]

2. \[ y=(3-x)^{\frac15}=\sqrt[5]{3-x} \] Корень нечётной степени определён при любом \(x\): \[ D(y)=\mathbb R. \]

3. \[ y=(x^3-x)^{-2}=\frac1{(x^3-x)^2} \] \[ x^3-x=x(x-1)(x+1)\ne0. \] \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-1;0;1\}. \]

4. \[ y=\sqrt[5]{(x^2-4)^3} \] Корень нечётной степени определён при всех \(x\): \[ D(y)=\mathbb R. \]

5. \[ y=(x^3-3x^2+2x)^{-7} \] \[ x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)\ne0. \] \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0;1;2\}. \]

2. Найти множество значений

1. \[ y=(x-2)^4 \] Четвёртая степень неотрицательна: \[ E(y)=[0;+\infty). \]

2. \[ y=(x+1)^{-5}=\frac1{(x+1)^5} \] Значение \(0\) функция принять не может: \[ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]

3. \[ y=3+x^{\frac23} \] \[ x^{\frac23}=(\sqrt[3]{x})^2\ge0. \] Следовательно, \[ E(y)=[3;+\infty). \]

3. Возрастание и убывание на отрезке \([1;2]\)

1. \[ y=x^2+2,\qquad y'=2x>0 \] Функция возрастает на \([1;2]\).

2. \[ y=-x^3+1,\qquad y'=-3x^2<0 \] Функция убывает на \([1;2]\).

3. \[ y=(x+3)^{-2},\qquad y'=-\frac2{(x+3)^3}<0 \] Функция убывает на \([1;2]\).

4. Графики и свойства функций

1) \(\ y=x^{14}+1\)

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=[1;+\infty)\);
• \(y>0\) при всех \(x\);
• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\);
• минимум: \((0;1)\);
• график симметричен относительно оси \(Oy\), проходит через точки \((-1;2)\) и \((1;2)\).

2) \(\ y=(1-x)^7\)

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=\mathbb R\);
• \(y>0\) при \(x<1\);
• \(y=0\) при \(x=1\);
• \(y<0\) при \(x>1\);
• функция убывает на всей \(\mathbb R\);
• график проходит через точки \((0;1)\), \((1;0)\), \((2;-1)\).

3) \(\ y=\sqrt[4]{x-1}\)

• \(D(y)=[1;+\infty)\);
• \(E(y)=[0;+\infty)\);
• \(y=0\) при \(x=1\);
• \(y>0\) при \(x>1\);
• функция возрастает на \([1;+\infty)\);
• график начинается в точке \((1;0)\), проходит через \((2;1)\).

4) \(\ y=x^{-5}+2=\dfrac1{x^5}+2\)

• \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}; \]
• \[ E(y)=\mathbb R\setminus\{2\}; \]
• вертикальная асимптота: \(x=0\);
• горизонтальная асимптота: \(y=2\);
• нуль функции: \[ \frac1{x^5}+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\sqrt[5]{\frac12}; \]
• \(y>0\) на \[ \left(-\infty;-\sqrt[5]{\frac12}\right)\cup(0;+\infty); \]
• \(y<0\) на \[ \left(-\sqrt[5]{\frac12};0\right); \]
• убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).

5) \(\ y=\sqrt[3]{x+1}\)

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=\mathbb R\);
• \(y<0\) при \(x<-1\);
• \(y=0\) при \(x=-1\);
• \(y>0\) при \(x>-1\);
• функция возрастает на всей \(\mathbb R\);
• график проходит через точки \((-1;0)\), \((0;1)\).

6) \(\ y=x^{\frac18}-1=\sqrt[8]{x}-1\)

• \(D(y)=[0;+\infty)\);
• \(E(y)=[-1;+\infty)\);
• \(y<0\) при \(0\le x<1\);
• \(y=0\) при \(x=1\);
• \(y>0\) при \(x>1\);
• функция возрастает на \([0;+\infty)\);
• график начинается в точке \((0;-1)\), проходит через \((1;0)\).

5. Решить графически уравнение

\[ \sqrt[3]{x+1}=x+1. \]

Графики пересекаются при:

\[ x+1=-1,\quad x+1=0,\quad x+1=1. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x=-2,\;-1,\;0}. \]

\[ \mathbb R\setminus\{a,b\} \]

означает: все действительные числа, кроме \(a\) и \(b\).

• \(\mathbb R\) — множество всех действительных чисел;
• \(\setminus\) — «исключить», «убрать»;
• \(\{a,b\}\) — числа, которые исключаем.

Например:

\[ \mathbb R\setminus\{-1;0;1\} \]

— это все числа, кроме \(-1\), \(0\) и \(1\).

Если внутри скобок ничего нет:

\[ \mathbb R\setminus\varnothing=\mathbb R. \]