35 дискривления менен чыгар

35. Жооптору:

а) \[ 2x^2-5x-7=(2x-7)(x+1) \]

б) \[ -5y^2-2y+3=-(y+1)(5y-3) \]

в) \[ x^2+8x-9=(x-1)(x+9) \]

г) \[ \frac16x^2+\frac12x+\frac13=\frac16(x+1)(x+2) \]

д) \[ -5x^2-10x+15=-5(x+3)(x-1) \]

е) \[ y^2-16y+15=(y-15)(y-1) \]

ж) \[ -x^2+12x-24 =-(x-6-2\sqrt3)(x-6+2\sqrt3) \]

з) \[ -2x^2+5x-3=-(x-1)(2x-3) \]

и) \[ 2x^2-2x+\frac12=\frac12(2x-1)^2 \]

к) \[ -16a^2-24a-9=-(4a+3)^2 \]

л) \[ m^2-5m+6=(m-2)(m-3) \]

м) \[ 0{,}25m^2-2m+4=\frac14(m-4)^2 \]

Дискриминант менен чыгаруу

Формулалар:

\[ D=B^2-4AC, \qquad t_{1,2}=\frac{-B\pm\sqrt D}{2A}, \]

\[ At^2+Bt+C=A(t-t_1)(t-t_2). \]

Бул жерде \(A,B,C\) — үч мүчөнүн коэффициенттери.

а)
\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-7)=81 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm9}{4}=\frac72,\,-1 \] \[ 2\left(x-\frac72\right)(x+1)=(2x-7)(x+1). \]

б)
\[ D=(-2)^2-4(-5)\cdot3=64 \] \[ y_{1,2}=\frac{2\pm8}{-10}=-1,\ \frac35 \] \[ -5(y+1)\left(y-\frac35\right)=-(y+1)(5y-3). \]

в)
\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-9)=100 \] \[ x_{1,2}=\frac{-8\pm10}{2}=1,\,-9 \] \[ (x-1)(x+9). \]

г)
\[ D=\left(\frac12\right)^2-4\cdot\frac16\cdot\frac13 =\frac1{36} \] \[ x_{1,2}=-1,\,-2 \] \[ \frac16(x+1)(x+2). \]

д)
\[ D=(-10)^2-4(-5)\cdot15=400 \] \[ x_{1,2}=\frac{10\pm20}{-10}=-3,\ 1 \] \[ -5(x+3)(x-1). \]

е)
\[ D=(-16)^2-4\cdot15=196 \] \[ y_{1,2}=\frac{16\pm14}{2}=15,\ 1 \] \[ (y-15)(y-1). \]

ж)
\[ D=12^2-4(-1)(-24)=48 \] \[ x_{1,2}=\frac{-12\pm4\sqrt3}{-2}=6\pm2\sqrt3 \] \[ -(x-6-2\sqrt3)(x-6+2\sqrt3). \]

з)
\[ D=5^2-4(-2)(-3)=1 \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm1}{-4}=1,\ \frac32 \] \[ -2(x-1)\left(x-\frac32\right)=-(x-1)(2x-3). \]

и)
\[ D=(-2)^2-4\cdot2\cdot\frac12=0 \] \[ x_0=\frac{2}{4}=\frac12 \] \[ 2\left(x-\frac12\right)^2=\frac12(2x-1)^2. \]

к)
\[ D=(-24)^2-4(-16)(-9)=0 \] \[ a_0=\frac{24}{-32}=-\frac34 \] \[ -16\left(a+\frac34\right)^2=-(4a+3)^2. \]

л)
\[ D=(-5)^2-4\cdot6=1 \] \[ m_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}=3,\ 2 \] \[ (m-3)(m-2). \]

м)
\[ D=(-2)^2-4\cdot0{,}25\cdot4=0 \] \[ m_0=\frac{2}{0{,}5}=4 \] \[ 0{,}25(m-4)^2=\frac14(m-4)^2. \]

Текшерүү: мисалы,
\[ -(x-6-2\sqrt3)(x-6+2\sqrt3) =-\bigl((x-6)^2-12\bigr) =-x^2+12x-24. \] Демек, ажыратуу туура. Ал эми \(D=0\) болгон мисалдар толук квадрат түрүндө жазылат.