466
Оценка углов и векторов
Я рассматриваю, является ли угол острым, помня, что синус остаётся тем же для дополнительных углов. Мои вычисления дают \(2\sqrt{5}/\sqrt{29}\) или, возможно, \(\sqrt{20/29}\).
Для пункта (b) я рассматриваю точки MN и BD, где \(B=(a,0,0)\) и \(D=(0,a,0)\). Думаю, что вектор BD равен \((-a,a,0)\), что для моих целей упрощается до \((-1,1,0)\). Здесь довольно много вычислений!
Проверка математических понятий
Мне нужно указать ненулевую сторону и координаты при объяснении деления M. Важно проверить мои результаты, возможно, используя формулу синуса или векторное произведение, а также значения между 0 и 1. Кроме того, следует проверить направления векторов и убедиться, что мои вычисления точны. Наконец, нужно убедиться, что следующая строка соответствует данным инструкциям и имеет смысл!
Вычисление свойств векторов
Я вычисляю несколько величин, связанных с векторами. Для вектора \(u = (4, 2, -3)\) я получил \(|u|² = 29\).
Далее, для вектора a, \(v = (0, 0, 1)\) даёт \(|v|² = 1\), а скалярное произведение \(u · v = -3\). Квадрат синуса вычисляется как \(\sin² = (29 - 9)/29 = 20/29\).
Переходя к вектору b, \(v = (-1, 1, 0)\) даёт \(|v|² = 2\), а скалярное произведение равно \(-2\), что приводит к \(\sin² = 27/29\).
Для вектора c, \(v = (-1, 1, -1)\), \(|v|² = 3\), а скалярное произведение равно 1, поэтому \(\sin² = 86/87\).
Наконец, для вектора d имеем \(v = (1, 1, -1)\), скалярное произведение равно 9, и я получаю \(\sin² = 2/29\). Здесь угол острый, несмотря на положительное скалярное произведение.
Краткий ответ:
\[ \boxed{\text{а) }\sqrt{\frac{20}{29}};\quad \text{б) }\sqrt{\frac{27}{29}};\quad \text{в) }\sqrt{\frac{86}{87}};\quad \text{г) }\sqrt{\frac{2}{29}}.} \]
Решение
Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты:
\[ A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad C(a;a;0),\quad D(0;a;0), \]
\[ A_1(0;0;a),\quad B_1(a;0;a),\quad D_1(0;a;a). \]
Так как
\[ AM:MA_1=3:1, \]
то
\[ AM=\frac34a,\qquad M\left(0;0;\frac{3a}{4}\right). \]
Точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому
\[ N\left(a;\frac a2;0\right). \]
Направляющий вектор прямой \(MN\):
\[ \overrightarrow{MN} =\left(a;\frac a2;-\frac{3a}{4}\right) =\frac a4(4;2;-3). \]
Можно взять
\[ \vec u=(4;2;-3),\qquad |\vec u|^2=4^2+2^2+(-3)^2=29. \]
Для угла между прямыми используем формулу
\[ \sin\varphi= \sqrt{1-\frac{(\vec u\cdot\vec v)^2} {|\vec u|^2|\vec v|^2}}. \]
а) \(MN\) и \(DD_1\)
\[ \vec v_1=(0;0;1),\qquad \vec u\cdot\vec v_1=-3,\qquad |\vec v_1|^2=1. \]
\[ \sin\varphi_1 =\sqrt{1-\frac{9}{29}} =\sqrt{\frac{20}{29}}. \]
б) \(MN\) и \(BD\)
\[ \vec v_2=\overrightarrow{BD}=(-1;1;0). \]
\[ \vec u\cdot\vec v_2=-4+2=-2,\qquad |\vec v_2|^2=2. \]
\[ \sin\varphi_2 =\sqrt{1-\frac{4}{29\cdot2}} =\sqrt{\frac{27}{29}}. \]
в) \(MN\) и \(B_1D\)
\[ \vec v_3=\overrightarrow{B_1D}=(-1;1;-1). \]
\[ \vec u\cdot\vec v_3=-4+2+3=1,\qquad |\vec v_3|^2=3. \]
\[ \sin\varphi_3 =\sqrt{1-\frac{1}{29\cdot3}} =\sqrt{\frac{86}{87}}. \]
г) \(MN\) и \(A_1C\)
\[ \vec v_4=\overrightarrow{A_1C}=(1;1;-1). \]
\[ \vec u\cdot\vec v_4=4+2+3=9,\qquad |\vec v_4|^2=3. \]
\[ \sin\varphi_4 =\sqrt{1-\frac{81}{29\cdot3}} =\sqrt{\frac{6}{87}} =\sqrt{\frac{2}{29}}. \]
Все полученные значения лежат в промежутке от \(0\) до \(1\), поэтому вычисления согласуются со свойствами синуса.
Обсуждение
4 сообщенияреши через векторы
По рисунку: \(M\) — середина \(B_1C_1\), \(N\) — середина \(AB\). Нужно найти угол между прямыми \(MN\) и \(BD_1\).
Пусть ребро куба равно \(a\). Введём единичные взаимно перпендикулярные векторы
\[ \vec i\parallel AB,\qquad \vec j\parallel AD,\qquad \vec k\parallel AA_1. \]
Тогда:
\[ \overrightarrow{AB}=a\vec i,\qquad \overrightarrow{AD}=a\vec j,\qquad \overrightarrow{AA_1}=a\vec k. \]
1. Найдём направляющие векторы прямых
Так как \(N\) — середина \(AB\), то
\[ \overrightarrow{AN}=\frac a2\vec i. \]
Так как \(M\) — середина \(B_1C_1\), то
\[ \overrightarrow{AM} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1} +\frac12\overrightarrow{B_1C_1} =a\vec i+a\vec k+\frac a2\vec j. \]
Следовательно,
\[ \overrightarrow{NM} =\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN} =\frac a2\vec i+\frac a2\vec j+a\vec k =\frac a2(\vec i+\vec j+2\vec k). \]
Для прямой \(BD_1\):
\[ \overrightarrow{BD_1} =-a\vec i+a\vec j+a\vec k =a(-\vec i+\vec j+\vec k). \]
2. Найдём косинус угла
\[ \cos\varphi= \frac{\left|\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{BD_1}\right|} {|\overrightarrow{NM}|\cdot|\overrightarrow{BD_1}|}. \]
Скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{BD_1} =\frac{a^2}{2}(-1+1+2)=a^2. \]
Длины векторов:
\[ |\overrightarrow{NM}| =\frac a2\sqrt{1^2+1^2+2^2} =\frac{a\sqrt6}{2}, \]
\[ |\overrightarrow{BD_1}| =a\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2} =a\sqrt3. \]
Поэтому
\[ \cos\varphi =\frac{a^2}{\frac{a\sqrt6}{2}\cdot a\sqrt3} =\frac{2}{\sqrt{18}} =\boxed{\frac{\sqrt2}{3}}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle(MN,BD_1)=\arccos\frac{\sqrt2}{3}\approx61{,}9^\circ}. \]
нормально напиши без хештегов чтобы в тетрадь переписать
Решение.
Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координатную систему с началом в точке \(A\), направив оси вдоль рёбер \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\).
Тогда:
\[ A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad D(0;a;0), \]
\[ B_1(a;0;a),\quad C_1(a;a;a),\quad D_1(0;a;a). \]
Так как \(N\) — середина \(AB\), то
\[ N\left(\frac a2;0;0\right). \]
Так как \(M\) — середина \(B_1C_1\), то
\[ M\left(a;\frac a2;a\right). \]
Найдём направляющие векторы прямых \(MN\) и \(BD_1\):
\[ \overrightarrow{MN} =\left(a-\frac a2;\frac a2-0;a-0\right) =\left(\frac a2;\frac a2;a\right), \]
\[ \overrightarrow{BD_1} =(0-a;a-0;a-0)=(-a;a;a). \]
Угол между двумя прямыми найдём по формуле:
\[ \cos\varphi= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD_1}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot|\overrightarrow{BD_1}|}. \]
Скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD_1} = \frac a2(-a)+\frac a2\cdot a+a\cdot a =a^2. \]
Длины векторов:
\[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{\left(\frac a2\right)^2+ \left(\frac a2\right)^2+a^2} = \frac{a\sqrt6}{2}, \]
\[ |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2+a^2+a^2} =a\sqrt3. \]
Следовательно,
\[ \cos\varphi = \frac{a^2} {\frac{a\sqrt6}{2}\cdot a\sqrt3} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt2}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{3}}, \]
\[ \boxed{\varphi=\arccos\frac{\sqrt2}{3}\approx61{,}9^\circ}. \]
