Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Выполните умножение:

а) \(\displaystyle \frac{3x^2}{y}\);

б) \(\displaystyle \frac{22a^4y^2}{3}\);

в) \(\displaystyle \frac{135x^2}{14}\);

г) \(\displaystyle -\frac{28b^2}{9ax}\).

2. Возведите в степень:

а) \(\displaystyle \frac{a^4}{81b^4}\);

б) \(\displaystyle \frac{36x^6}{25b^8}\);

в) \(\displaystyle -\frac{27x^3y^{12}}{64a^6b^3}\).

3. \(\displaystyle -\frac74\).

---

Решение

1. Умножение дробей

При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем одинаковые множители.

а)

\[ \frac{7x^3}{5y}\cdot\frac{15}{7x} = \frac{7x^3\cdot15}{5y\cdot7x} = \frac{3x^2}{y}. \]

б)

\[ \frac{11a^4}{12y}\cdot 8y^3 = \frac{88a^4y^3}{12y} = \frac{22a^4y^2}{3}. \]

в)

\[ 27x^5\cdot\frac{5}{14x^3} = \frac{135x^5}{14x^3} = \frac{135x^2}{14}. \]

г)

\[ -\frac{16ab^3}{21x^2y}\cdot\frac{49xy}{12a^2b} = -\frac{16\cdot49\cdot ab^3xy}{21\cdot12\cdot x^2y\cdot a^2b}. \]

Сокращаем степени и числа:

\[ -\frac{16\cdot49}{21\cdot12}\cdot \frac{b^2}{ax} = -\frac{28b^2}{9ax}. \]

---

2. Возведение дроби в степень

Используем правило:

\[ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}. \]

а)

\[ \left(\frac{a}{3b}\right)^4 = \frac{a^4}{(3b)^4} = \frac{a^4}{81b^4}. \]

б)

\[ \left(\frac{6x^3}{5b^4}\right)^2 = \frac{(6x^3)^2}{(5b^4)^2} = \frac{36x^6}{25b^8}. \]

в)

\[ \left(-\frac{3xy^4}{4a^2b}\right)^3 = -\frac{(3xy^4)^3}{(4a^2b)^3} = -\frac{27x^3y^{12}}{64a^6b^3}. \]

---

3. Нахождение значения выражения

Разложим выражения на множители:

\[ 4x-20=4(x-5),\qquad 5x-25=5(x-5), \]

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Тогда

\[ \frac{(x+3)^2}{4x-20}\cdot \frac{5x-25}{x^2-9} = \frac{(x+3)^2}{4(x-5)} \cdot \frac{5(x-5)}{(x-3)(x+3)}. \]

Сокращаем множители \(x-5\) и \(x+3\):

\[ =\frac{5(x+3)}{4(x-3)}. \]

Подставляем \(x=\frac12\):

\[ \frac{5\left(\frac12+3\right)} {4\left(\frac12-3\right)} = \frac{5\cdot\frac72}{4\cdot\left(-\frac52\right)} = \frac{\frac{35}{2}}{-10} = -\frac74. \]

Знаменатели исходного выражения при \(x=\frac12\) не равны нулю, поэтому результат допустим.