Реши задание на изображении
Краткий ответ (действительные корни):
\(x=1;\ 3\)
\(x=-3;\ 1\)
\(x=\dfrac12;\ 2\)
\(x=0\)
\(x=-2;\ 0\)
\(x=-1;\ \dfrac13;\ 3\)
\(x=-1;\ 3\)
\(x=1\)
\(x=-1;\ 12\)
\(x=\dfrac14;\ 2\)
Ключевые шаги
1)
Пусть \(u=x^2-4x\). Тогда:
\[ \frac{21}{u+10}-u=6 \]
\[ 21-u(u+10)=6(u+10) \]
\[ u^2+16u+39=0 \]
\[ u=-3 \quad \text{или} \quad u=-13. \]
Но
\[ u=x^2-4x=(x-2)^2-4\ge -4, \]
поэтому \(u=-13\) не подходит. Тогда:
\[ x^2-4x=-3, \]
\[ x^2-4x+3=0, \]
\[ x=1;\ 3. \]
2)
ОДЗ: \(x\ne0,-1,-2\).
\[ \frac1{x(x+2)}-\frac1{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-x(x+2)} {x(x+2)(x+1)^2} \]
\[ =\frac1{x(x+2)(x+1)^2}. \]
Значит,
\[ x(x+2)(x+1)^2=12. \]
Пусть \(y=(x+1)^2\). Тогда \(x(x+2)=y-1\):
\[ y(y-1)=12, \]
\[ y^2-y-12=0, \]
\[ y=4. \]
Следовательно,
\[ (x+1)^2=4, \]
\[ x=1;\ -3. \]
3)
ОДЗ: \(x\ne0\). Обозначим
\[ t=x+\frac1x. \]
Тогда
\[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2. \]
Получаем:
\[ 7t-2(t^2-2)=9, \]
\[ 2t^2-7t+5=0, \]
\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=\frac52. \]
При \(t=1\):
\[ x+\frac1x=1 \Rightarrow x^2-x+1=0, \]
действительных корней нет.
При \(t=\dfrac52\):
\[ x+\frac1x=\frac52, \]
\[ 2x^2-5x+2=0, \]
\[ x=\frac12;\ 2. \]
4)
ОДЗ: \(x\ne-1\).
\[ \frac{x^2+x+1}{x+1} = x+\frac1{x+1}. \]
Тогда:
\[ x^2+2x+\frac1{x+1} = x+\frac1{x+1}, \]
\[ x^2+x=0, \]
\[ x(x+1)=0. \]
Корни: \(x=0\) и \(x=-1\), но \(x=-1\) запрещён. Поэтому
\[ x=0. \]
5)
Пусть
\[ t=x^2+2x+2=(x+1)^2+1\ge1. \]
Тогда:
\[ \frac{t-1}{t}+\frac{t}{t+1}=\frac76. \]
После умножения на \(6t(t+1)\):
\[ 6(t-1)(t+1)+6t^2=7t(t+1), \]
\[ 5t^2-7t-6=0, \]
\[ (t-2)(5t+3)=0. \]
Так как \(t\ge1\), подходит только \(t=2\):
\[ x^2+2x+2=2, \]
\[ x(x+2)=0. \]
\[ x=-2;\ 0. \]
6)
ОДЗ: \(x\ne0\). Умножим на \(x^2\):
\[ 3x^3+3-7x^2-7x=0, \]
\[ 3x^3-7x^2-7x+3=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+1)(3x-1)(x-3)=0. \]
Отсюда:
\[ x=-1;\ \frac13;\ 3. \]
7)
Пусть
\[ t=x(x-2). \]
Тогда
\[ x^2+(x-2)^2=2(t+2). \]
Уравнение принимает вид:
\[ 10t^2=18(t+2), \]
\[ 5t^2-9t-18=0, \]
\[ (t-3)(5t+6)=0. \]
Так как
\[ t=x(x-2)=(x-1)^2-1\ge-1, \]
значение \(t=-\dfrac65\) не подходит. Поэтому \(t=3\):
\[ x(x-2)=3, \]
\[ x^2-2x-3=0, \]
\[ x=-1;\ 3. \]
8)
ОДЗ:
\[ 3x^2-2x=x(3x-2)\ne0, \]
то есть \(x\ne0,\dfrac23\).
Умножим на знаменатель:
\[ x^2+1=2x(3x^2-2x), \]
\[ 6x^3-5x^2-1=0. \]
Разложение:
\[ 6x^3-5x^2-1=(x-1)(6x^2+x+1). \]
У квадратного трёхчлена
\[ D=1-24=-23<0. \]
Следовательно,
\[ x=1. \]
9)
Сгруппируем множители:
\[ (x-4)(x-7)=x^2-11x+28, \]
\[ (x-5)(x-6)=x^2-11x+30. \]
Пусть
\[ t=x^2-11x+29. \]
Тогда произведение равно:
\[ (t-1)(t+1)=1680, \]
\[ t^2=1681, \]
\[ t=41 \quad \text{или} \quad t=-41. \]
При \(t=41\):
\[ x^2-11x+29=41, \]
\[ x^2-11x-12=0, \]
\[ x=-1;\ 12. \]
При \(t=-41\) дискриминант отрицательный, действительных корней нет.
10)
ОДЗ: \(x\ne0,\ 1\).
Умножим уравнение на \(2x(x-1)\):
\[ 2(x-1)^2-3x^2=-5x(x-1). \]
После упрощения:
\[ 4x^2-9x+2=0, \]
\[ (4x-1)(x-2)=0. \]
Поэтому:
\[ x=\frac14;\ 2. \]
Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ; подстановка в исходные уравнения подтверждает ответы.
