Реши задание на изображении
Перегруппировка уравнений
Мне нужно решить это уравнение: \(\frac{21}{x^2 -4x+10} - x^2 + 4x = 6\). Похоже, его можно переписать как \(21/(...) - x^2 + 4x = 6\). Возможно, выражение можно упростить, введя \(y = x^2 - 4x\). Тогда знаменатель станет \(y + 10\), а \(-x^2 + 4x\) можно упростить до \(-y\).
Систематическое решение уравнений
Я заметил, что нужно решить данные уравнения с учётом конкретных условий, в частности \(x \ne 0\) и \(x \ne 1\). Для упрощения я рассмотрю общий знаменатель и тщательно проработаю каждый шаг. Похоже, также нужно сначала дать краткий ответ, а затем подробные шаги и проверку результатов. Поскольку задания могут быть пронумерованы, я внимательно проверю изображение, чтобы правильно всё переписать. Постараюсь обеспечить ясность и точность!
Проверка уравнений
Думаю, начать нужно с оформленного списка уравнений. Вот что у меня получилось:
- \(x=1,3\)
- \(x=-3,1\)
- \(x=1/2,2\)
- \(x=0\)
- \(x=-2,0\)
- \(x=-1,1/3,3\)
- \(x=-1,3\)
- \(x=1\)
- \(x=-1,12\)
- \(x=1/4,2\)
Теперь следует тщательно проверить каждый шаг, особенно первое уравнение с его знаменателем. Оно содержит алгебраические преобразования, поэтому важно всё внимательно проверить!
Проверка корней квадратного уравнения
Я работаю с уравнением \(4x² - 9x + 2 = 0\) и получил корни \(2\) и \(1/4\). Следует отметить, что \(x \ne 0\) и \(x \ne 1\) — допустимые ограничения области определения. В условии предлагается включить этап проверки. Я рассмотрю возможность добавить быструю проверку с помощью таблицы, чтобы подтвердить, что корни удовлетворяют исходному уравнению. Нет необходимости подставлять каждый корень, но следует уточнить, что преобразования были корректными в указанной области определения, и привести примеры проверок.
Структура ответа
Можно подчеркнуть, что преобразования были обратимыми, а ограничения области определения корректно учтены. Также полезно привести несколько простых проверок в качестве примеров. Учитывая фразу «Режим Понять», вероятно, пользователю нужно нечто большее, чем только ответ. Следует сразу начать ответ и озаглавить его «Ответ (действительные корни):», а затем кратко и по пунктам изложить основные шаги. В конце нужно добавить содержательную строку длиной менее 60 символов, например: «Разобрать подробнее любой из пунктов?»
План структуры ответа
Я прослежу за тем, чтобы не добавлять ссылки, поскольку речь идёт об образовательном контексте, и начну непосредственно с ответа, как было предложено. Ответ следует чётко структурировать, начав с краткого ответа под заголовком «Краткий ответ (действительные решения):». Затем можно представить решения в таблице, например: «1 | \(x=1, 3\)». Важно изложить всё просто, чтобы пользователю было легко понять информацию. Думаю, это поможет дать краткий и полезный ответ!
Анализ уравнений и структуры ответа
Сначала нужно проверить, не были ли некоторые уравнения переписаны с ошибками. Например, возможно, следует уточнить \(\displaystyle x^2 + 2x + \frac{1}{x+1} = \frac{x^2+x+1}{x+1}\). Также могут возникнуть вопросы относительно уравнения \(\frac{21}{x^2-4x+10} - x^2 + 4x = 6\). Добавление исходных уравнений могло бы предотвратить путаницу, и нужно убедиться, что ответ соответствует требованиям разработчика. Постараюсь обеспечить достаточную подробность и ясность!
Краткий ответ (действительные корни):
- \(x=1;\,3\)
- \(x=-3;\,1\)
- \(x=\dfrac12;\,2\)
- \(x=0\)
- \(x=-2;\,0\)
- \(x=-1;\,\dfrac13;\,3\)
- \(x=-1;\,3\)
- \(x=1\)
- \(x=-1;\,12\)
- \(x=\dfrac14;\,2\)
Решение
1) Обозначим \(y=x^2-4x\). Тогда
\[ \frac{21}{y+10}-y=6. \]
\[ 21=(y+6)(y+10), \]
\[ y^2+16y+39=0, \]
\[ (y+3)(y+13)=0. \]
\(y=-3\) даёт:
\[ x^2-4x=-3 \Rightarrow x^2-4x+3=0, \]
\[ x=1,\;3. \]
Значение \(y=-13\) действительных корней не даёт.
2) ОДЗ: \(x\ne0,-2,-1\).
\[ \frac1{x(x+2)}-\frac1{(x+1)^2} =\frac{1}{x(x+2)(x+1)^2}. \]
Тогда
\[ \frac{1}{x(x+2)(x+1)^2}=\frac1{12}, \]
\[ x(x+2)(x+1)^2=12. \]
Пусть \(t=(x+1)^2\). Так как \(x(x+2)=t-1\), получаем:
\[ t(t-1)=12, \]
\[ (t-4)(t+3)=0. \]
\(t\ge0\), поэтому \(t=4\):
\[ (x+1)^2=4 \Rightarrow x=1,\;-3. \]
3) ОДЗ: \(x\ne0\). Пусть
\[ t=x+\frac1x. \]
Тогда
\[ x^2+\frac1{x^2}=t^2-2. \]
Подставим:
\[ 7t-2(t^2-2)=9, \]
\[ 2t^2-7t+5=0, \]
\[ (2t-5)(t-1)=0. \]
\(t=1\) не даёт действительных \(x\). При \(t=\dfrac52\):
\[ x+\frac1x=\frac52, \]
\[ 2x^2-5x+2=0, \]
\[ (2x-1)(x-2)=0. \]
\[ x=\frac12,\;2. \]
4) ОДЗ: \(x\ne-1\).
\[ x^2+2x+\frac1{x+1}=\frac{x^2+x+1}{x+1}. \]
Умножим на \(x+1\):
\[ (x^2+2x)(x+1)+1=x^2+x+1. \]
\[ x^3+2x^2+x=0, \]
\[ x(x+1)^2=0. \]
\(x=-1\) исключается по ОДЗ, поэтому
\[ x=0. \]
5) Пусть
\[ y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1. \]
Следовательно, \(y\ge1\). Тогда
\[ \frac{y-1}{y}+\frac{y}{y+1}=\frac76. \]
После умножения на \(6y(y+1)\):
\[ 5y^2-7y-6=0, \]
\[ (5y+3)(y-2)=0. \]
Так как \(y\ge1\), берём \(y=2\):
\[ x^2+2x+2=2, \]
\[ x(x+2)=0. \]
\[ x=0,\;-2. \]
6) ОДЗ: \(x\ne0\). Умножим уравнение на \(x^2\):
\[ 3x^3+3-7x^2-7x=0, \]
\[ 3x^3-7x^2-7x+3=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+1)(3x-1)(x-3)=0. \]
\[ x=-1,\;\frac13,\;3. \]
7) Пусть \(t=x(x-2)\). Тогда
\[ x^2+(x-2)^2=2(t+2). \]
Получаем:
\[ 10t^2=18(t+2), \]
\[ 5t^2-9t-18=0, \]
\[ (5t+6)(t-3)=0. \]
- \(t=3\):
\[ x(x-2)=3 \Rightarrow x^2-2x-3=0, \]
\[ x=-1,\;3. \]
- \(t=-\dfrac65\) действительных корней не даёт.
8) ОДЗ: \(x\ne0,\dfrac23\).
\[ \frac{x^2+1}{3x^2-2x}=2x. \]
\[ x^2+1=2x(3x^2-2x), \]
\[ 6x^3-5x^2-1=0. \]
\[ 6x^3-5x^2-1=(x-1)(6x^2+x+1). \]
У квадратного трёхчлена дискриминант отрицательный:
\[ D=1-24=-23. \]
Поэтому
\[ x=1. \]
9) Обозначим
\[ y=x^2-11x+29. \]
Тогда
\[ (x-4)(x-7)=y-1, \qquad (x-5)(x-6)=y+1. \]
Поэтому
\[ (y-1)(y+1)=1680, \]
\[ y^2=1681, \]
\[ y=\pm41. \]
При \(y=41\):
\[ x^2-11x+29=41, \]
\[ x^2-11x-12=0, \]
\[ (x-12)(x+1)=0. \]
\[ x=-1,\;12. \]
При \(y=-41\) действительных корней нет.
10) ОДЗ: \(x\ne0,1\).
Умножим уравнение на \(2x(x-1)\):
\[ 2(x-1)^2-3x^2=-5x(x-1). \]
\[ 4x^2-9x+2=0, \]
\[ (4x-1)(x-2)=0. \]
\[ x=\frac14,\;2. \]
Проверка: найденные значения не нарушают ОДЗ, а преобразования выполнялись равносильно, поэтому все указанные корни подходят к исходным уравнениям.
