Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Представьте в виде дроби
- \(\displaystyle \frac a2\)
- \(\displaystyle \frac xy,\quad y\ne0\)
- \(\displaystyle \frac{m+2n}{3c},\quad c\ne0\)
- \(\displaystyle \frac8a,\quad a\ne0,\ b\ne0\)
- \(\displaystyle \frac5{y+3},\quad y\ne\pm3\)
2. Упростите выражение
- \(\displaystyle 2,\quad x\ne2\)
- \(\displaystyle -2,\quad x\ne5\)
- \(\displaystyle \frac{a+1}{2},\quad a\ne1\)
Решение
При одинаковых знаменателях складываем или вычитаем числители:
\[ \frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}. \]
1.1
\[ \frac{3a}{10}+\frac{2a}{10} =\frac{3a+2a}{10} =\frac{5a}{10} =\frac a2. \]
1.2
\[ \frac{6x}{5y}-\frac{x}{5y} =\frac{6x-x}{5y} =\frac{5x}{5y} =\frac xy. \]
1.3
\[ \frac{2m-4n}{21c}+\frac{5m+18n}{21c} = \frac{2m-4n+5m+18n}{21c}. \]
Приведём подобные слагаемые:
\[ \frac{7m+14n}{21c} = \frac{7(m+2n)}{7\cdot3c} = \frac{m+2n}{3c}. \]
1.4
Минус перед скобками меняет знаки:
\[ \frac{2a+5b}{ab}-\frac{2a-3b}{ab} = \frac{2a+5b-(2a-3b)}{ab}. \]
\[ \frac{2a+5b-2a+3b}{ab} = \frac{8b}{ab} = \frac8a. \]
1.5
\[ \frac{5y}{y^2-9}-\frac{15}{y^2-9} = \frac{5y-15}{y^2-9}. \]
Разложим на множители:
\[ \frac{5(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac5{y+3}. \]
При этом исходное выражение не определено при \(y=3\) и \(y=-3\).
2.1
Так как \(2-x=-(x-2)\), то
\[ \frac{x-4}{x-2}-\frac{x}{2-x} = \frac{x-4}{x-2}+\frac{x}{x-2}. \]
\[ \frac{x-4+x}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} =2. \]
2.2
Так как \(5-x=-(x-5)\), получаем:
\[ \frac{5x+6}{5-x}+\frac{3x+16}{x-5} = -\frac{5x+6}{x-5}+\frac{3x+16}{x-5}. \]
\[ \frac{-5x-6+3x+16}{x-5} = \frac{-2x+10}{x-5} = \frac{-2(x-5)}{x-5} =-2. \]
2.3
Поскольку \(6-6a=-(6a-6)\),
\[ \frac{(2a-1)^2}{6a-6}+\frac{(a-2)^2}{6-6a} = \frac{(2a-1)^2-(a-2)^2}{6(a-1)}. \]
Используем разность квадратов:
\[ (2a-1)^2-(a-2)^2 = \bigl((2a-1)-(a-2)\bigr) \bigl((2a-1)+(a-2)\bigr). \]
\[ = (a+1)(3a-3) = 3(a+1)(a-1). \]
Тогда
\[ \frac{3(a+1)(a-1)}{6(a-1)} = \frac{a+1}{2}. \]
При сокращении всегда сохраняем ограничения исходного выражения: знаменатели не должны быть равны нулю.
