Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а? На изображении видны пункты:
e) \(\overrightarrow{AM}\);
f) \(\overrightarrow{AM}\).Основания трапеции: \(26\text{ см}\) и \(14\text{ см}\).
\[ \boxed{\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac37\vec b},\qquad \boxed{\overrightarrow{DK}=\vec a-\frac47\vec b}. \]
1. Упрощение выражений
e) Используем \(-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\), \(-\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{KM}\), \(-\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{DK}\):
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MK} +\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{KD} &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DK} +\overrightarrow{KM}\\ &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KM}\\ &=\boxed{\overrightarrow{AM}}. \end{aligned} \]
f)
\[ \begin{aligned} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}) +(\overrightarrow{DK}-\overrightarrow{MK}) &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KM}\\ &=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KM}\\ &=\boxed{\overrightarrow{AM}}. \end{aligned} \]
Здесь применяется правило многоугольника: при последовательном сложении векторов начало первого и конец последнего задают результирующий вектор.
2. Основания трапеции
Пусть большее основание — \(B\), меньшее — \(b\).
Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции является её высотой:
\[ h=12\text{ см}. \]
Так как другая боковая сторона образует с большим основанием угол \(45^\circ\), то в образовавшемся прямоугольном треугольнике:
\[ \tan 45^\circ=\frac{12}{B-b}=1. \]
Значит,
\[ B-b=12. \]
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ \frac{B+b}{2}=20 \quad\Rightarrow\quad B+b=40. \]
Решаем систему:
\[ \begin{cases} B-b=12,\\ B+b=40. \end{cases} \]
Получаем:
\[ B=26\text{ см},\qquad b=14\text{ см}. \]
Проверка:
\[ \frac{26+14}{2}=20,\qquad 26-14=12. \]
3. Векторы в прямоугольнике
Так как \(ABCD\) — прямоугольник,
\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b, \qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a. \]
Из условия \(BK:KC=3:4\):
\[ BC=7\text{ частей},\qquad \overrightarrow{BK}=\frac37\vec b,\qquad \overrightarrow{KC}=\frac47\vec b. \]
Тогда
\[ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} =\vec a+\frac37\vec b. \]
А для \(\overrightarrow{DK}\):
\[ \overrightarrow{DK} =\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CK} =\vec a-\frac47\vec b. \]
Обсуждение
6 сообщенийЗадача номер 3
Задача 3
Пусть \(ABCD\) — прямоугольник,
\[
\overrightarrow{AB}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec b,
\]
а точка \(K\) делит \(BC\) так, что \(BK:KC=3:4\).
Всего \(3+4=7\) частей, поэтому:
\[ \overrightarrow{BK}=\frac37\vec b,\qquad \overrightarrow{CK}=-\frac47\vec b. \]
Так как в прямоугольнике \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a\), получаем:
\[ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} =\boxed{\vec a+\frac37\vec b}, \]
\[ \overrightarrow{DK} =\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CK} =\boxed{\vec a-\frac47\vec b}. \]
Ответ: \[ \boxed{\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac37\vec b,\qquad \overrightarrow{DK}=\vec a-\frac47\vec b}. \]
Задание 2 с картинкой
Задание 2
По рисунку дана прямоугольная трапеция:
- высота \(h=12\text{ см}\);
- угол при наклонной боковой стороне \(45^\circ\);
- средняя линия \(m=20\text{ см}\).
Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), где \(a>b\).
Схематично:
┌────── b ────┐
│ \
12 см │ \ 45°
└───────┬───────┘
a
Из образовавшегося прямоугольного треугольника:
\[ \tan 45^\circ=\frac{12}{a-b}. \]
Так как \(\tan45^\circ=1\), то
\[ a-b=12. \]
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ \frac{a+b}{2}=20, \]
\[ a+b=40. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} a-b=12,\\ a+b=40. \end{cases} \]
Складываем уравнения:
\[ 2a=52,\qquad a=26\text{ см}. \]
Тогда
\[ b=40-26=14\text{ см}. \]
Ответ: основания трапеции равны \(26\text{ см}\) и \(14\text{ см}\).
С подробной картинкой
Задание 2 — подробная схема
Схема трапеции не в масштабе:
C
┌─────────●
│ b │\
│ │ \
│ │ \ боковая сторона
12 см │ \
│ │ \
│ │ \ 45°
│ │ \
●─────────●───────●
A E D
a − b │
└─────── a ───────┘
Более подробно обозначим:
- \(AB=12\text{ см}\) — высота трапеции;
- \(BC=b\) — меньшее основание;
- \(AD=a\) — большее основание;
- \(CE\perp AD\), поэтому \(CE=12\text{ см}\);
- \(ED=a-b\);
- \(\angle CDE=45^\circ\);
- средняя линия трапеции \(m=20\text{ см}\).
В прямоугольном треугольнике \(CDE\):
\[ \tan 45^\circ=\frac{CE}{ED}. \]
Подставим значения:
\[ 1=\frac{12}{a-b}, \]
откуда
\[ a-b=12. \]
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ m=\frac{a+b}{2}. \]
Так как \(m=20\text{ см}\), то
\[ \frac{a+b}{2}=20, \qquad a+b=40. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} a-b=12,\\ a+b=40. \end{cases} \]
Сложим уравнения:
\[ 2a=52,\qquad a=26\text{ см}. \]
Теперь найдём меньшее основание:
\[ b=40-26=14\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{26\text{ см и }14\text{ см}}. \]
