Реши задание на изображении
Ответ:
- а) \(\boxed{2\text{ см}}\);
- б) \(\boxed{4\sqrt2\text{ см}}\).
Обозначим \(KA=h\), \(AB=x\), \(AD=y\). Так как \(AK\perp(ABCD)\), треугольники \(KAB\), \(KAD\), \(KAC\) прямоугольные:
\[ KB^2=h^2+x^2=49, \] \[ KD^2=h^2+y^2=36, \] \[ KC^2=h^2+x^2+y^2=81. \]
Вычтем первое равенство из третьего:
\[ y^2=81-49=32, \qquad AD=y=4\sqrt2. \]
Вычтем второе равенство из третьего:
\[ x^2=81-36=45. \]
Тогда
\[ h^2=49-45=4, \qquad h=KA=2\text{ см}. \]
Для пункта б: \(AD\perp CD\), поскольку \(ABCD\) — прямоугольник. Кроме того, \(AD\perp AK\), так как \(AK\) перпендикулярна плоскости прямоугольника. Значит, \(AD\) — общий перпендикуляр к прямым \(AK\) и \(CD\):
\[ \rho(AK,CD)=AD=4\sqrt2\text{ см}. \]
Проверка:
\[ \sqrt{2^2+(3\sqrt5)^2}=7,\quad \sqrt{2^2+(4\sqrt2)^2}=6, \] \[ \sqrt{2^2+(3\sqrt5)^2+(4\sqrt2)^2}=9. \]
Обсуждение
10 сообщенийРешить через теорему пифагора
Решим только по теореме Пифагора.
Пусть \(KA=x\).
Так как \(AK\perp(ABCD)\), треугольники \(KAB\), \(KAD\), \(KAC\) прямоугольные.
1. Найдём \(AD\)
В прямоугольном треугольнике \(KAC\):
\[ KC^2=KA^2+AC^2. \]
Так как \(ABCD\) — прямоугольник, то
\[ AC^2=AB^2+AD^2. \]
А в треугольнике \(KAB\):
\[ KB^2=KA^2+AB^2. \]
Вычитаем:
\[ KC^2-KB^2=AD^2. \]
Подставим значения:
\[ AD^2=9^2-7^2=81-49=32, \]
\[ AD=\sqrt{32}=4\sqrt2\text{ см}. \]
2. Найдём \(KA\)
Аналогично:
\[ KC^2-KD^2=AB^2. \]
\[ AB^2=9^2-6^2=81-36=45. \]
В треугольнике \(KAB\):
\[ KA^2=KB^2-AB^2=7^2-45=49-45=4. \]
\[ KA=2\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{KA=2\text{ см}},\qquad \boxed{AD=4\sqrt2\text{ см}}. \]
Если требуется расстояние между прямыми \(AK\) и \(CD\), то оно равно \(AD\), поэтому
\[ \boxed{\rho(AK,CD)=4\sqrt2\text{ см}}. \]
Записать обозначениями для рабочей тетради
Можно оформить в тетради так:
Дано
\[ ABCD\text{ — прямоугольник},\qquad AK\perp(ABCD), \]
\[ KB=7\text{ см},\qquad KD=6\text{ см},\qquad KC=9\text{ см}. \]
Найти
\[ KA,\qquad \rho(AK;CD). \]
Решение
По теореме Пифагора:
\[ KB^2=KA^2+AB^2, \]
\[ KC^2=KA^2+AC^2. \]
Так как \(ABCD\) — прямоугольник,
\[ AC^2=AB^2+AD^2. \]
Следовательно,
\[ KC^2-KB^2=AD^2. \]
\[ AD^2=9^2-7^2=81-49=32, \]
\[ AD=4\sqrt2\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(KAD\):
\[ KD^2=KA^2+AD^2, \]
\[ KA^2=KD^2-AD^2=6^2-32=36-32=4, \]
\[ KA=2\text{ см}. \]
Так как
\[ AD\perp AK,\qquad AD\perp CD, \]
то \(AD\) — общий перпендикуляр к прямым \(AK\) и \(CD\). Поэтому
\[ \rho(AK;CD)=AD=4\sqrt2\text{ см}. \]
Ответ
\[ \boxed{KA=2\text{ см}},\qquad \boxed{\rho(AK;CD)=4\sqrt2\text{ см}}. \]
Как нарисовать рисунок к задаче
Нарисуй прямоугольник \(ABCD\) в виде параллелограмма:
K
│
│
A────────B
╲ ╲
D───────C
- Вершины подписывай по порядку: \(A\to B\to C\to D\).
- Из точки \(A\) вверх проведи \(AK\), поставь \(K\).
- Соедини \(K\) с точками \(B\), \(C\), \(D\), так как известны длины: \[ KB=7\text{ см},\qquad KD=6\text{ см},\qquad KC=9\text{ см}. \]
- Проведи диагональ \(AC\) — она понадобится для решения по теореме Пифагора.
- Рядом с \(AK\) подпиши: \[ AK\perp(ABCD). \]
- Для пункта о расстоянии между \(AK\) и \(CD\) выдели отрезок \(AD\) и отметь: \[ AD\perp AK,\qquad AD\perp CD. \]
Прямоугольник на пространственном рисунке изображают параллелограммом, поэтому стороны \(AD\) и \(BC\) можно рисовать наклонными. Масштаб соблюдать не обязательно.
Подходить ли этот рисунок к твоему решению задачи
Да, рисунок в целом подходит:
- \(ABCD\) изображён как прямоугольник;
- точка \(K\) расположена над точкой \(A\);
- проведены \(KA,\ KB,\ KC,\ KD\).
Чтобы рисунок полностью соответствовал решению, добавь диагональ \(AC\) — от точки \(A\) к точке \(C\). Не перепутай её с уже проведённым отрезком \(KC\).
Рядом с \(A\) можно подписать:
\[ AK\perp(ABCD). \]
После этого рисунок будет готов. Масштаб соблюдать не обязательно.
Но треугольник KAD не прямоугольный, почему условие правильно
По рисунку треугольник \(KAD\) действительно может не выглядеть прямоугольным, потому что пространственный рисунок изображают с искажением.
Но по условию:
\[ AK\perp(ABCD). \]
Отрезок \(AD\) лежит в плоскости \((ABCD)\) и проходит через точку \(A\). Поэтому
\[ AK\perp AD, \]
то есть
\[ \angle KAD=90^\circ. \]
Следовательно, треугольник \(KAD\) прямоугольный с прямым углом в точке \(A\). На рисунке нужно поставить возле \(A\) значок прямого угла между \(AK\) и \(AD\).
