с 21
Решение логарифмического уравнения
Необходимо указать область определения логарифмической функции, сделав это кратко, но достаточно полно. Решим уравнение \( lg(x-1) + lg(x+1) = 0 \). Ограничение области определения: \( x-1 > 0 \), откуда \( x > 1 \) (условие \( x+1 > 0 \) является избыточным). Объединяя логарифмы, получаем \( lg[(x-1)(x+1)] = 0 \). Отсюда произведение равно \( 1 \). Следовательно, \( x^2 - 1 = 1 \), откуда \( x^2 = 2 \) и \( x = \pm\sqrt{2} \), но области определения соответствует только \( \sqrt{2} \).
Анализ логарифмических уравнений
Я проверяю уравнения шаг за шагом. Для первого уравнения я замечаю, что возникает проблема с областью определения, поскольку подходящее значение \( x=-1 \) недопустимо из-за отрицательных аргументов логарифма. Далее для второго уравнения я заключаю, что решений также нет, поскольку полученное значение \( x=-3 \) не принадлежит определённой области. Однако в третьем и четвёртом уравнениях решения \( x=±1 \) и \( x=±8 \) допустимы. Наконец, для последнего уравнения получаю \( x=12 \).
Решение логарифмических уравнений
Я анализирую уравнение log_7 x = log_7 (12) - log_7 (3). Здесь я отмечаю, что область определения требует \( x > 0 \). Упрощая выражение, получаю log_7 (12/3) = log_7 (4), откуда нахожу, что \( x = 4 \) — решение. Для следующего уравнения log_{0.3} x = 2 log_{0.3} (6) - log_{0.3} (12) необходимо убедиться, что основание 0.3 допустимо для логарифмов.
Проверка решений
Необходимо указать допустимые решения, оставшиеся после проверки ОДЗ, и быстро проверить нетривиальные из них. Чтобы убедиться, что они удовлетворяют условиям, я думаю, стоит ли добавлять «Проверка...» для каждого решения. Это может сделать ответ более объёмным, но, думаю, важно для ясности. Можно также привести все уравнения, чтобы убедиться, что каждое из них проверено. Так пользователь получит полное представление о решении!
Уточнение задания
Я размышляю о возможных скрытых проблемах в уравнениях, содержащих основание логарифма \(0.4\). Важно отметить, что, судя по всему, задание просит решить всё начиная с №21. Фраза «с 21», вероятно, означает, что нужны задания начиная с номера 21, что может быть сокращённой формулировкой в данном контексте. Я планирую упомянуть задания №21–34 и при необходимости попросить уточнить. Также следует кратко объяснить свойства «lg» и последовательно использовать десятичные запятые. Наконец, я отвечу на русском языке.
Подготовка решения логарифмического уравнения
Я решаю несколько логарифмических уравнений. Сначала решаю \(x²-3x+2=0\), у которого корни 1 и 2. Я проверил, что при \(x=2\) вычисления дают верный результат.
Затем я отметил, что свойство логарифмов допускает определённые основания, однако один из кандидатов оказался недопустимым. В другом случае, \(\log_4 x²=3\), я подтвердил, что оба значения \(x\) допустимы, если аргументы положительны. Наконец, я подведу итоги и чётко структурирую ответ, убедившись, что после маркера нет необходимости в дополнительных заголовках.
Краткий ответ
- \(x=\sqrt2\)
- \(x=2\)
- решений нет
- \(x=7\)
- \(x=2\)
- решений нет
- решений нет
- \(x=-1,\;1\)
- \(x=-8,\;8\)
- \(x=12\)
- \(x=4\)
- \(x=3\)
- \(x=-5,\;1\)
- \(x=\dfrac{-5+\sqrt{41}}4\)
Основные свойства
\[ \log_a u+\log_a v=\log_a(uv), \]
\[ \log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv, \]
\[ \log_a y=k\Longleftrightarrow y=a^k. \]
Сначала записываем ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительными.
21)
\[ \begin{cases} x-1>0,\\ x+1>0 \end{cases} \Rightarrow x>1. \]
\[ \lg(x-1)+\lg(x+1)=0 \]
\[ \lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=0 \]
\[ x^2-1=10^0=1 \]
\[ x^2=2,\qquad x=\pm\sqrt2. \]
По ОДЗ подходит только
\[ \boxed{x=\sqrt2}. \]
Проверка: \((\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=1\), значит сумма логарифмов равна \(\lg1=0\).
22)
ОДЗ:
\[ x-\sqrt3>0\Rightarrow x>\sqrt3. \]
\[ \lg\bigl((x+\sqrt3)(x-\sqrt3)\bigr)=0 \]
\[ x^2-3=1 \]
\[ x^2=4,\qquad x=\pm2. \]
С учётом ОДЗ:
\[ \boxed{x=2}. \]
23)
ОДЗ:
\[ 3x-1>0,\quad x+5>0\Rightarrow x>\frac13. \]
\[ \lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg5 \]
\[ \frac{3x-1}{x+5}=5 \]
\[ 3x-1=5x+25 \]
\[ x=-13. \]
Но \(-13\not>\frac13\), поэтому
\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]
24)
ОДЗ:
\[ x-1>0,\quad 2x-11>0\Rightarrow x>\frac{11}{2}. \]
\[ \lg\frac{x-1}{2x-11}=\lg2 \]
\[ \frac{x-1}{2x-11}=2 \]
\[ x-1=4x-22 \]
\[ x=7. \]
Число \(7\) удовлетворяет ОДЗ:
\[ \boxed{x=7}. \]
25)
ОДЗ:
\[ 6x-10>0,\qquad x^2-3>0. \]
Отсюда
\[ x>\frac53,\qquad x<-\sqrt3\ \text{или}\ x>\sqrt3, \]
поэтому окончательно \(x>\sqrt3\).
\[ \log_2\frac{6x-10}{x^2-3}=1 \]
\[ \frac{6x-10}{x^2-3}=2 \]
\[ 6x-10=2x^2-6 \]
\[ x^2-3x+2=0 \]
\[ (x-1)(x-2)=0. \]
Корни: \(x=1\) и \(x=2\). По ОДЗ подходит только
\[ \boxed{x=2}. \]
Проверка:
\[ \log_2 2-\log_2 1=1-0=1. \]
26)
ОДЗ:
\[ 5x+3>0,\quad 7x+5>0\Rightarrow x>-\frac35. \]
Основания логарифмов одинаковые:
\[ 5x+3=7x+5 \]
\[ x=-1. \]
Но \(-1<-\frac35\), поэтому
\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]
27)
ОДЗ:
\[ 3x-1>0,\quad 6x+8>0\Rightarrow x>\frac13. \]
\[ 3x-1=6x+8 \]
\[ x=-3. \]
Корень не входит в ОДЗ:
\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]
28)
\[ x^2>0\Rightarrow x\ne0. \]
\[ \log_5x^2=0 \]
\[ x^2=5^0=1 \]
\[ \boxed{x=-1,\;1}. \]
29)
\[ x^2>0\Rightarrow x\ne0. \]
\[ \log_4x^2=3 \]
\[ x^2=4^3=64 \]
\[ \boxed{x=-8,\;8}. \]
30)
ОДЗ: \(x>0\).
\[ \log_3x=\log_3 1{,}5+\log_3 8 \]
\[ \log_3x=\log_3(1{,}5\cdot8) =\log_3 12. \]
Значит,
\[ \boxed{x=12}. \]
31)
ОДЗ: \(x>0\).
\[ \log_7x=\log_7 12-\log_7 3 \]
\[ \log_7x=\log_7\frac{12}{3} =\log_7 4. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x=4}. \]
32)
ОДЗ: \(x>0\).
\[ \log_{0{,}3}x =2\log_{0{,}3}6-\log_{0{,}3}12 \]
\[ \log_{0{,}3}x =\log_{0{,}3}\frac{6^2}{12} =\log_{0{,}3}3. \]
Значит,
\[ \boxed{x=3}. \]
33)
ОДЗ:
\[ x^2+4x+3>0. \]
\[ \log_2(x^2+4x+3)=3 \]
\[ x^2+4x+3=2^3=8 \]
\[ x^2+4x-5=0 \]
\[ (x-1)(x+5)=0. \]
\[ \boxed{x=1,\;-5}. \]
Для обоих корней аргумент логарифма равен \(8>0\), поэтому оба подходят.
34)
ОДЗ:
\[ x+1>0,\quad 2x+3>0\Rightarrow x>-1. \]
\[ \log_5\bigl((x+1)(2x+3)\bigr)=1 \]
\[ (x+1)(2x+3)=5 \]
\[ 2x^2+5x+3=5 \]
\[ 2x^2+5x-2=0. \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{25+16}}4 =\frac{-5\pm\sqrt{41}}4. \]
Корень
\[ \frac{-5-\sqrt{41}}4<-1 \]
не подходит по ОДЗ. Поэтому
\[ \boxed{x=\frac{-5+\sqrt{41}}4}. \]
Дай похожее уравнение для тренировки
