Найдите периметр ромба ABCD в котором угол B= 60 градусов AC=10,5 см
Краткий ответ: \(\boxed{42\text{ см}}\).
Ромб \(ABCD\) имеет все стороны равными. Обозначим сторону ромба через \(a\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\):
- \(AB=BC=a\);
- \(\angle B=60^\circ\);
- \(AC=10{,}5\) см.
По теореме косинусов:
\[ AC^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^\circ \]
\[ AC^2=2a^2-2a^2\cdot\frac12=a^2, \]
значит,
\[ AC=a=10{,}5\text{ см}. \]
Периметр ромба:
\[ P=4a=4\cdot10{,}5=\boxed{42\text{ см}}. \]
Проверка: треугольник \(ABC\) равносторонний, поэтому его сторона \(AB=AC=BC=10{,}5\) см.
Обсуждение
2 сообщениябольшой ответ с решением
Решение
Дано:
Ромб \(ABCD\), в котором
\[ \angle B=60^\circ, \]
диагональ
\[ AC=10{,}5\text{ см}. \]
Найти:
Периметр ромба \(P\).
1. Рассмотрим треугольник \(ABC\)
Диагональ \(AC\) делит ромб на два треугольника. В треугольнике \(ABC\):
- \(AB\) и \(BC\) — стороны ромба;
- \(AC\) — диагональ ромба;
- \(\angle ABC=\angle B=60^\circ\).
Так как \(ABCD\) — ромб, то все его стороны равны:
\[ AB=BC. \]
Значит, треугольник \(ABC\) является равнобедренным.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны:
\[ \angle BAC=\angle ACB. \]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому:
\[ \angle BAC+\angle ACB =180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]
Так как эти углы равны, каждый из них равен:
\[ \angle BAC=\angle ACB=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ. \]
Таким образом, все углы треугольника \(ABC\) равны \(60^\circ\). Следовательно, треугольник \(ABC\) — равносторонний.
Значит, его стороны равны:
\[ AB=BC=AC. \]
Так как
\[ AC=10{,}5\text{ см}, \]
то сторона ромба равна:
\[ a=10{,}5\text{ см}. \]
2. Найдём периметр ромба
Периметр ромба равен сумме четырёх равных сторон:
\[ P=4a. \]
Подставим значение стороны:
\[ P=4\cdot10{,}5=42\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{42\text{ см}} \]
