На украинском
Коротка відповідь
Спільний знаменник: \[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \] Тому: \[ \frac{3}{x^3-y^3},\qquad \frac{4(x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3}. \]
\[ 4+\frac ab=\frac{a+4b}{b}. \]
\[ \frac5a-a=\frac{5-a^2}{a}. \]
\[ \frac5a+\frac3b=\frac{5b+3a}{ab}. \]
\[ \frac{a-5}{a}=1-\frac5a. \]
\[ \frac7{12ab}-\frac{11}{18ab}=-\frac1{36ab}. \]
\[ \frac{3x}{4}-\frac{5x}{9}=\frac{7x}{36}. \]
\[ \frac{1-x}{x^5}+\frac1{x^3} =\frac{x^2-x+1}{x^5}. \]
\[ \frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{zx} =\frac{z-y}{yz}. \]
Ключові кроки
Правило: щоб додати або відняти дроби, потрібно звести їх до спільного знаменника.
2. \[ 4=\frac{4b}{b},\qquad \frac{4b}{b}+\frac ab=\frac{4b+a}{b}. \]
3. \[ a=\frac{a^2}{a},\qquad \frac5a-a=\frac5a-\frac{a^2}{a} =\frac{5-a^2}{a}. \]
4. \[ \frac5a=\frac{5b}{ab},\qquad \frac3b=\frac{3a}{ab}, \] тому \[ \frac{5b}{ab}+\frac{3a}{ab} =\frac{5b+3a}{ab}. \]
6. Найменший спільний знаменник для \(12ab\) і \(18ab\) — \(36ab\): \[ \frac7{12ab}=\frac{21}{36ab},\qquad \frac{11}{18ab}=\frac{22}{36ab}. \] Отже, \[ \frac{21}{36ab}-\frac{22}{36ab} =-\frac1{36ab}. \]
7. \[ \frac{3x}{4}=\frac{27x}{36},\qquad \frac{5x}{9}=\frac{20x}{36}, \] тому \[ \frac{27x-20x}{36}=\frac{7x}{36}. \]
8. \[ \frac1{x^3}=\frac{x^2}{x^5}, \] тому \[ \frac{1-x}{x^5}+\frac{x^2}{x^5} =\frac{1-x+x^2}{x^5} =\frac{x^2-x+1}{x^5}. \]
9. Спільний знаменник — \(xyz\): \[ \frac{x-y}{xy}=\frac{z(x-y)}{xyz},\qquad \frac{x-z}{zx}=\frac{y(x-z)}{xyz}. \] Тоді \[ \frac{z(x-y)-y(x-z)}{xyz} =\frac{xz-xy}{xyz} =\frac{x(z-y)}{xyz} =\frac{z-y}{yz}. \]
Перевірка №9: \[ \frac{x-y}{xy}=\frac1y-\frac1x,\qquad \frac{x-z}{zx}=\frac1z-\frac1x, \] а їхня різниця дорівнює \[ \frac1y-\frac1z=\frac{z-y}{yz}. \]
Обсуждение
2 сообщенияЯ не поняла 1 завдання как оно розвязано
Звісно, поясню 1-е завдання по кроках.
Потрібно було звести до спільного знаменника дроби:
\[ \frac{3}{x^3-y^3} \quad\text{і}\quad \frac{4}{x-y}. \]
1. Розкладаємо \(x^3-y^3\)
Використовуємо формулу різниці кубів:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). \]
Тому:
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). \]
Отже, спільним знаменником буде \(x^3-y^3\).
2. Перший дріб
У першого дробу вже є потрібний знаменник:
\[ \frac{3}{x^3-y^3}. \]
Його не змінюємо.
3. Другий дріб
У дробу
\[ \frac{4}{x-y} \]
не вистачає множника \(x^2+xy+y^2\). Домножуємо чисельник і знаменник на нього:
\[ \frac{4}{x-y}\cdot \frac{x^2+xy+y^2}{x^2+xy+y^2}. \]
Отримуємо:
\[ \frac{4(x^2+xy+y^2)} {(x-y)(x^2+xy+y^2)}. \]
А оскільки
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3, \]
то:
\[ \frac{4}{x-y} = \frac{4(x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3}. \]
Отже, дроби зі спільним знаменником:
\[ \boxed{\frac{3}{x^3-y^3} \quad\text{і}\quad \frac{4(x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3}}. \]
Ми домножуємо чисельник і знаменник на один і той самий вираз, тому значення дробу не змінюється.
