Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- Графики \(y=-\log_4 x\) и \(y=4^x\) строятся по таблице точек и асимптотам.
- \(\log_{0,9}1\dfrac12<\log_{0,9}1\dfrac13\).
- \(x=\dfrac{61}{2}\).
- \(x\in(3;28)\).
- \(x=9\).
- \(x=81\).
- \(x\in\left[\dfrac12;16\right]\).
2. Построение графиков
Для \(y=4^x\):
\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y=4^x&\frac14&1&4 \end{array} \]
Точки: \((-1;\frac14)\), \((0;1)\), \((1;4)\).
График возрастает, горизонтальная асимптота — \(y=0\).
Для \(y=-\log_4x\):
\[ \begin{array}{c|ccc} x&\frac14&1&4\\ \hline y=-\log_4x&1&0&-1 \end{array} \]
Точки: \((\frac14;1)\), \((1;0)\), \((4;-1)\).
График убывает, вертикальная асимптота — \(x=0\).
3. Сравнение логарифмов
Основание \(0{,}9\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому функция \(y=\log_{0,9}x\) убывает.
Так как
\[ 1\dfrac12>1\dfrac13, \]
то
\[ \boxed{\log_{0,9}1\dfrac12<\log_{0,9}1\dfrac13}. \]
4. Уравнение
\[ \log_4(2x+3)=3. \]
По определению логарифма:
\[ 2x+3=4^3=64, \]
\[ 2x=61,\qquad \boxed{x=\frac{61}{2}}. \]
Проверка: \(2\cdot\frac{61}{2}+3=64\), а \(\log_4 64=3\).
5. Неравенство
\[ \log_5(x-3)<2. \]
ОДЗ:
\[ x-3>0\quad\Rightarrow\quad x>3. \]
Так как \(5>1\), знак неравенства сохраняется:
\[ x-3<5^2=25, \]
\[ x<28. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x\in(3;28)}. \]
6. Уравнение
\[ \log_3(x-8)+\log_3x=2. \]
ОДЗ:
\[ x-8>0,\quad x>0\quad\Rightarrow\quad x>8. \]
Объединим логарифмы:
\[ \log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2, \]
\[ x(x-8)=3^2=9. \]
\[ x^2-8x-9=0, \]
\[ (x-9)(x+1)=0. \]
Корни: \(x=9\) и \(x=-1\). По ОДЗ подходит только \(x=9\).
\[ \boxed{x=9}. \]
Проверка:
\[ \log_3(9-8)+\log_3 9=\log_3 1+\log_3 9=0+2=2. \]
7. Уравнение
\[ \log_{\sqrt3}x+\log_9x=10. \]
Представим основания через \(3\):
\[ \log_{\sqrt3}x=2\log_3x,\qquad \log_9x=\frac12\log_3x. \]
Тогда
\[ 2\log_3x+\frac12\log_3x=10, \]
\[ \frac52\log_3x=10, \]
\[ \log_3x=4. \]
Значит,
\[ \boxed{x=3^4=81}. \]
Проверка:
\[ \log_{\sqrt3}81=8,\qquad \log_9 81=2,\qquad 8+2=10. \]
8. Неравенство
Здесь \(\log_2^2x\) означает \((\log_2x)^2\).
\[ (\log_2x)^2-3\log_2x\le4. \]
Пусть
\[ t=\log_2x. \]
Тогда
\[ t^2-3t\le4, \]
\[ t^2-3t-4\le0, \]
\[ (t-4)(t+1)\le0. \]
Отсюда
\[ -1\le t\le4. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ -1\le\log_2x\le4. \]
Так как \(2>1\),
\[ 2^{-1}\le x\le2^4. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x\in\left[\frac12;16\right]}. \]
