Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, изображение ещё раз или обрежь его до задания № 2 — сейчас условие не видно.

2. Построение графиков

Функции \(y=\log_4 x\) и \(y=4^x\) являются взаимно обратными, поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y=x\).

Для \(y=4^x\):

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-1&0&1&2\\ \hline y&\frac14&1&4&16 \end{array} \]

Точки: \(\left(-1;\frac14\right)\), \((0;1)\), \((1;4)\), \((2;16)\).

Для \(y=\log_4x\):

\[ \begin{array}{c|cccc} x&\frac14&1&4&16\\ \hline y&-1&0&1&2 \end{array} \]

Точки: \(\left(\frac14;-1\right)\), \((1;0)\), \((4;1)\), \((16;2)\).

График \(y=4^x\) имеет горизонтальную асимптоту \(y=0\), а график \(y=\log_4x\) — вертикальную асимптоту \(x=0\).

---

3. Сравнить числа

\[ \log_{0,9}1\frac12 \quad \text{и} \quad \log_{0,9}1\frac13. \]

Так как \(0<0,9<1\), логарифмическая функция убывает.

\[ 1\frac12=\frac32>\frac43=1\frac13. \]

При большем аргументе значение логарифма меньше:

\[ \boxed{\log_{0,9}1\frac12<\log_{0,9}1\frac13}. \]

---

4. Решить уравнение

\[ \log_4(2x+3)=3. \]

По определению логарифма:

\[ 2x+3=4^3=64, \]

\[ 2x=61, \]

\[ \boxed{x=\frac{61}{2}}. \]

---

5. Решить неравенство

\[ \log_5(x-3)<2. \]

ОДЗ:

\[ x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3. \]

Так как \(5>1\), функция возрастает:

\[ x-3<5^2=25. \]

\[ x<28. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in(3;28)}. \]

---

6. Решить уравнение

\[ \log_3(x-8)+\log_3x=2. \]

ОДЗ:

\[ x-8>0,\quad x>0 \quad\Rightarrow\quad x>8. \]

Объединим логарифмы:

\[ \log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2. \]

Тогда

\[ x(x-8)=3^2=9, \]

\[ x^2-8x-9=0. \]

Корни:

\[ x_1=9,\qquad x_2=-1. \]

ОДЗ удовлетворяет только \(x=9\).

\[ \boxed{x=9}. \]

---

7. Решить уравнение

\[ \log_{\sqrt3}x+\log_9x=10. \]

Пусть

\[ t=\log_3x. \]

Тогда

\[ \log_{\sqrt3}x=\frac{\log_3x}{\log_3\sqrt3} =\frac{t}{1/2}=2t, \]

\[ \log_9x=\frac{\log_3x}{\log_39}=\frac t2. \]

Получаем:

\[ 2t+\frac t2=10, \]

\[ \frac{5t}{2}=10, \]

\[ t=4. \]

Следовательно,

\[ \log_3x=4 \quad\Rightarrow\quad x=3^4. \]

\[ \boxed{x=81}. \]

---

8. Решить неравенство

\[ \log_2^2x-3\log_2x\le4. \]

Пусть

\[ t=\log_2x. \]

Тогда

\[ t^2-3t\le4, \]

\[ t^2-3t-4\le0, \]

\[ (t-4)(t+1)\le0. \]

Отсюда

\[ -1\le t\le4. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ -1\le\log_2x\le4. \]

Так как \(2>1\),

\[ 2^{-1}\le x\le2^4. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[\frac12;16\right]}. \]