163 номер решить

Краткий ответ:

а) значение выражения равно \(\boxed{1}\);

б) значение выражения равно \(\boxed{-1}\).

а)

Допустимые значения: \(a\ne b\) и \(a\ne -b\), то есть \(a\ne\pm b\).

\[ \begin{aligned} &\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\\ &=\left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} +\frac{a-b}{2(a+b)}\right)\cdot\frac{2a}{a+b} +\frac{b}{b-a}. \end{aligned} \]

Приведём выражения в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} +\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}. \]

Так как

\[ 4ab+(a-b)^2=4ab+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2, \]

получаем:

\[ \begin{aligned} &\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} \cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}\\ &=\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} =\frac{a-b}{a-b}=1. \end{aligned} \]

Значит, выражение не зависит от \(a\) и \(b\).

б)

Допустимые значения: \(x\ne y\) и \(x\ne -y\), то есть \(x\ne\pm y\).

Разложим на множители:

\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x-y)(x+y). \]

Рассмотрим выражение в скобках:

\[ \begin{aligned} \frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2} &=\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\\ &=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}\\ &=\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}. \end{aligned} \]

Тогда

\[ \begin{aligned} &\frac{y}{x-y} -\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \left(\frac{x}{(x-y)^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)\\ &=\frac{y}{x-y} -\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot\frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}\\ &=\frac{y}{x-y}-\frac{x}{x-y}\\ &=\frac{y-x}{x-y}=-1. \end{aligned} \]

Следовательно, выражение постоянно и равно \(\boxed{-1}\).