Реши эти задачи

Краткие ответы

1. \(60^\circ\)
2. \(\dfrac{3}{\sqrt{205}}\)
3. \(-\dfrac{7}{3}\)
4. \(\dfrac{11}{20}\)
5. \(\dfrac{9}{20}\)

Решение

1. Центральный угол \(AOB\)

По клеткам:

• \(OA=OB=6\) — это радиусы окружности;
• горизонтальная проекция \(OB\) равна \(3\).

Поэтому:

\[ \cos \angle AOB=\frac{3}{6}=\frac12. \]

Следовательно,

\[ \angle AOB=60^\circ. \]

2. Синус угла \(AOB\)

Из рисунка у луча \(OA\):

• горизонтальная составляющая — \(14\);
• вертикальная составляющая — \(3\).

Длина \(OA\):

\[ OA=\sqrt{14^2+3^2}=\sqrt{196+9}=\sqrt{205}. \]

Тогда

\[ \sin \angle AOB=\frac{3}{\sqrt{205}}. \]

3. Тангенс угла \(AOB\)

Возьмём координаты векторов:

\[ \vec{OA}=(2,-2), \qquad \vec{OB}=(-5,-2). \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{OA}\cdot\vec{OB} =2\cdot(-5)+(-2)\cdot(-2) =-10+4=-6. \]

Модуль векторного произведения:

\[ \left|2\cdot(-2)-(-2)\cdot(-5)\right| =|-4-10|=14. \]

Поэтому

\[ \tan \angle AOB=\frac{14}{-6}=-\frac73. \]

Знак «минус» верный: угол тупой.

4. Тангенс угла

По клеткам:

• горизонтальный катет — \(20\);
• вертикальный катет — \(11\).

\[ \tan\alpha=\frac{11}{20}. \]

5. Тангенс угла

По клеткам:

• горизонтальный катет — \(20\);
• вертикальный катет — \(9\).

\[ \tan\alpha=\frac{9}{20}. \]