Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. На диаграмме Эйлера:

   • \(A\setminus B: 0{,}05\);
   • \(A\cap B: 0{,}15\);
   • \(B\setminus A: 0{,}65\);
   • вне \(A\cup B: 0{,}15\).

2. События не являются независимыми.
   \[ P(A\cup B)=\frac58=0{,}625. \]

3. Вероятность того, что кофе останется ровно в одном автомате: \[ \boxed{0{,}28}. \]

Решение

№ 1

Дано:

\[ P(A)=0{,}2,\qquad P(B)=0{,}8,\qquad P(A\cap B)=0{,}15. \]

Только событие \(A\):

\[ P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B) =0{,}2-0{,}15=0{,}05. \]

Только событие \(B\):

\[ P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B) =0{,}8-0{,}15=0{,}65. \]

Объединение событий:

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =0{,}2+0{,}8-0{,}15=0{,}85. \]

Вне обоих событий:

\[ 1-P(A\cup B)=1-0{,}85=0{,}15. \]

Проверка:

\[ 0{,}05+0{,}15+0{,}65+0{,}15=1. \]

№ 2

Пусть:

• \(A\) — в первом броске выпал орёл;
• \(B\) — орёл выпал ровно два раза за три броска.

\[ P(A)=\frac12,\qquad P(B)=\frac{C_3^2}{2^3}=\frac38. \]

Событие \(A\cap B\): в первом броске орёл, а ещё один орёл выпал во втором или третьем броске:

\[ P(A\cap B)=\frac{2}{8}=\frac14. \]

Для независимых событий должно выполняться:

\[ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B). \]

Но

\[ P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac38=\frac{3}{16} \neq \frac14. \]

Значит, события зависимые.

Вероятность объединения:

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac12+\frac38-\frac14 =\frac58=0{,}625. \]

№ 3

Пусть:

• \(A\) — кофе закончился в первом автомате;
• \(B\) — кофе закончился во втором автомате.

Для каждого отдельного автомата:

\[ P(A)=P(B)=0{,}2,\qquad P(A\cap B)=0{,}06. \]

Вероятность того, что кофе закончится только в первом автомате:

\[ P(A\setminus B)=0{,}2-0{,}06=0{,}14. \]

Аналогично, только во втором:

\[ P(B\setminus A)=0{,}14. \]

Тогда кофе останется ровно в одном автомате, если кофе закончится ровно в одном из них:

\[ P=0{,}14+0{,}14=\boxed{0{,}28}. \]