Реши все

I. Биссектриса и медиана

Биссектриса делит угол пополам:

1. \(\angle BAD=68^\circ:2=\boxed{34^\circ}\)
2. \(\angle BAD=82^\circ:2=\boxed{41^\circ}\)
3. \(\angle BAD=26^\circ:2=\boxed{13^\circ}\)
4. \(\angle BAD=24^\circ:2=\boxed{12^\circ}\)

Медиана делит сторону пополам:

5. \(AM=AC:2=14:2=\boxed{7}\)
6. \(AM=16:2=\boxed{8}\)
7. \(AM=38:2=\boxed{19}\)
8. \(AM=54:2=\boxed{27}\)

II. Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):

9. \(180^\circ-72^\circ-42^\circ=\boxed{66^\circ}\)
10. \(180^\circ-43^\circ-88^\circ=\boxed{49^\circ}\)
11. \(180^\circ-38^\circ-89^\circ=\boxed{53^\circ}\)
12. \(180^\circ-54^\circ-58^\circ=\boxed{68^\circ}\)

III. Внешний угол

Внутренний и внешний углы — смежные, поэтому их сумма \(180^\circ\):

13. \(180^\circ-115^\circ=\boxed{65^\circ}\)
14. \(180^\circ-177^\circ=\boxed{3^\circ}\)
15. \(180^\circ-106^\circ=\boxed{74^\circ}\)
16. \(180^\circ-142^\circ=\boxed{38^\circ}\)

IV. Равнобедренный треугольник

Если \(AB=BC\), то углы при основании равны:

17. \(\angle BCA=\dfrac{180^\circ-106^\circ}{2}=\boxed{37^\circ}\)
18. \(\angle BCA=\dfrac{180^\circ-108^\circ}{2}=\boxed{36^\circ}\)
19. \(\angle BCA=\dfrac{180^\circ-132^\circ}{2}=\boxed{24^\circ}\)
20. \(\angle BCA=\dfrac{180^\circ-144^\circ}{2}=\boxed{18^\circ}\)

V. Прямоугольный треугольник

Два острых угла в прямоугольном треугольнике в сумме дают \(90^\circ\):

21. \(90^\circ-21^\circ=\boxed{69^\circ}\)
22. \(90^\circ-33^\circ=\boxed{57^\circ}\)
23. \(90^\circ-47^\circ=\boxed{43^\circ}\)
24. \(90^\circ-63^\circ=\boxed{27^\circ}\)

13–16. Внешний угол треугольника

Внутренний и внешний углы при одной вершине — смежные, поэтому их сумма равна \(180^\circ\).

13. \(180^\circ-115^\circ=\boxed{65^\circ}\)

14. \(180^\circ-177^\circ=\boxed{3^\circ}\)

15. \(180^\circ-106^\circ=\boxed{74^\circ}\)

16. \(180^\circ-142^\circ=\boxed{38^\circ}\)

17–20. Равнобедренный треугольник

Так как \(AB=BC\), углы при основании равны:

\[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-\angle B}{2}. \]

17. \(\dfrac{180^\circ-106^\circ}{2}=\boxed{37^\circ}\)

18. \(\dfrac{180^\circ-108^\circ}{2}=\boxed{36^\circ}\)

19. \(\dfrac{180^\circ-132^\circ}{2}=\boxed{24^\circ}\)

20. \(\dfrac{180^\circ-144^\circ}{2}=\boxed{18^\circ}\)

21–24. Прямоугольный треугольник

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\).

21. \(90^\circ-21^\circ=\boxed{69^\circ}\)

22. \(90^\circ-33^\circ=\boxed{57^\circ}\)

23. \(90^\circ-47^\circ=\boxed{43^\circ}\)

24. \(90^\circ-63^\circ=\boxed{27^\circ}\)

Так как \(AB=BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому углы при основании равны:

\[ \angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-\angle ABC}{2}. \]

17. \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-106^\circ}{2} =\frac{74^\circ}{2}=\boxed{37^\circ} \]

18. \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-108^\circ}{2} =\frac{72^\circ}{2}=\boxed{36^\circ} \]

19. \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-132^\circ}{2} =\frac{48^\circ}{2}=\boxed{24^\circ} \]

20. \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-144^\circ}{2} =\frac{36^\circ}{2}=\boxed{18^\circ} \]

Решаю все полностью видимые задания. На фотографиях есть два разных блока с одинаковыми номерами, поэтому разделю их.

Первая фотография — № 14–19

14

Количество мест образует арифметическую прогрессию:

\[ a_1=28,\qquad d=3. \]

\[ a_8=a_1+7d=28+7\cdot3=\boxed{49}. \]

15

\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), поэтому \(MN\) — средняя линия треугольника:

\[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{104}{2}=\boxed{52}. \]

16

В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle C=180^\circ-82^\circ=\boxed{98^\circ}. \]

17

Площадь треугольника:

\[ S=\frac12 AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC. \]

\[ S=\frac12\cdot9\cdot16\cdot\frac7{12} =42. \]

\[ \boxed{42} \]

18

Подсчитаем клетки:

\[ S=7+2+1=\boxed{10}. \]

19

1. Неверно: диагонали прямоугольника не всегда перпендикулярны.
2. Верно: диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
3. Неверно: площади подобных треугольников относятся как \(k^2\).

Ответ:

\[ \boxed{2} \]

---

Вариант № 81958504 — № 14–16

14

\[ a_8=25+7\cdot3=\boxed{46}. \]

15

Внутренний и внешний углы — смежные:

\[ 180^\circ-133^\circ=\boxed{47^\circ}. \]

16

Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов \(180^\circ\):

\[ \angle C=180^\circ-81^\circ=\boxed{99^\circ}. \]

---

№ 17–21

17

Смежные углы ромба в сумме дают \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-43^\circ=\boxed{137^\circ}. \]

18

По клеткам видно, что вершина \(B\) находится на \(4\) клетки выше стороны \(AC\). Поэтому длина высоты:

\[ \boxed{4}. \]

19

1. Неверно: углы ромба не обязательно равны.
2. Неверно: равенство соответствующих сторон не гарантирует равенство произвольных четырёхугольников.
3. Верно: из внешней точки к окружности можно провести две касательные.

Ответ:

\[ \boxed{3} \]

20

Дана система:

\[ \begin{cases} 2x^2+3y^2=11,\\ 4x^2+6y^2=11x. \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на \(2\):

\[ 4x^2+6y^2=22. \]

Сравниваем со вторым уравнением:

\[ 11x=22,\qquad x=2. \]

Подставляем:

\[ 2\cdot2^2+3y^2=11, \]

\[ 8+3y^2=11,\qquad y^2=1. \]

\[ y=\pm1. \]

Ответ:

\[ \boxed{(2;1),\ (2;-1)}. \]

21

В свежих фруктах сухих веществ \(20\%\):

\[ 288\cdot0{,}2=57{,}6\text{ кг}. \]

В сушёных фруктах воды \(28\%\), значит сухих веществ \(72\%\). Пусть масса сушёных фруктов равна \(x\):

\[ 0{,}72x=57{,}6, \]

\[ x=\frac{57{,}6}{0{,}72}=\boxed{80\text{ кг}}. \]

---

№ 22–25

22

Разложим числитель на множители:

\[ x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9) \]

\[ =(x-2)(x+2)(x-3)(x+3). \]

Тогда

\[ y=\frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} {(x-3)(x+2)} =x^2+x-6, \]

но

\[ x\ne3,\qquad x\ne-2. \]

График — парабола

\[ y=x^2+x-6 \]

с выколотыми точками:

\[ (-2;-4),\qquad (3;6). \]

Вершина параболы:

\[ x_0=-\frac12,\qquad y_0=-\frac{25}{4}. \]

Горизонтальная прямая имеет ровно одну общую точку в трёх случаях:

• \(c=-\dfrac{25}{4}\) — касается параболы в вершине;
• \(c=-4\) — одна точка исчезает из-за выколотой точки \((-2;-4)\);
• \(c=6\) — одна точка исчезает из-за выколотой точки \((3;6)\).

Ответ:

\[ \boxed{c\in\left\{-\frac{25}{4},\,-4,\,6\right\}}. \]

23

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\).

\[ 2(a+b)=56,\qquad a+b=28. \]

По теореме Пифагора:

\[ a^2+b^2=27^2=729. \]

\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab. \]

\[ 28^2=729+2ab, \]

\[ 784=729+2ab, \]

\[ ab=\frac{55}{2}. \]

Площадь:

\[ \boxed{\frac{55}{2}=27{,}5}. \]

24

Равные центральные углы опираются на равные хорды:

\[ AB=CD. \]

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам:

\[ AK=\frac{AB}{2},\qquad CL=\frac{CD}{2}. \]

Так как \(AB=CD\), то \(AK=CL\). Кроме того,

\[ OA=OC \]

как радиусы окружности.

В прямоугольных треугольниках \(AOK\) и \(COL\) равны гипотенузы и по катету, значит треугольники равны. Следовательно,

\[ \boxed{OK=OL}. \]

25

Расстояния между центрами малых и большой окружности:

\[ O_2O_1=7{,}5-4{,}5=3, \]

\[ O_2O_3=7{,}5-2{,}5=5. \]

Так как малые окружности касаются внешним образом:

\[ O_1O_3=4{,}5+2{,}5=7. \]

По теореме косинусов:

\[ \cos\angle O_1O_2O_3= \frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5} =\frac{9+25-49}{30} =-\frac12. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\angle O_1O_2O_3=120^\circ}. \]