Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \[ \angle B=75^\circ,\qquad AB=\sqrt3-1\ \text{см},\qquad BC=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\ \text{см}. \]

2. \[ \angle B=105^\circ, \] \[ AB=\frac92(\sqrt3-1)\ \text{см}\approx3{,}29\ \text{см}, \] \[ BC=\frac94(\sqrt6-\sqrt2)\ \text{см}\approx2{,}33\ \text{см}. \]

3. \[ AB=\sqrt{79}\ \text{см}\approx8{,}89\ \text{см}, \] \[ \angle A\approx77^\circ,\qquad \angle B\approx43^\circ. \]

Решение

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}. \]

1)

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle B=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ. \]

Так как \(AC=1\) см,

\[ AB=\frac{AC\cdot\sin45^\circ}{\sin75^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}} =\sqrt3-1\ \text{см}. \]

\[ BC=\frac{AC\cdot\sin60^\circ}{\sin75^\circ} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}} =\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\ \text{см}. \]

Проверка: стороне \(AC\), лежащей напротив угла \(75^\circ\), действительно соответствует наибольшая длина.

2)

\[ \angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ. \]

Здесь \(AC=4{,}5\) см, а \(\sin105^\circ=\sin75^\circ\).

\[ AB=\frac{4{,}5\cdot\sin45^\circ}{\sin105^\circ} =4{,}5(\sqrt3-1)\ \text{см} =\frac92(\sqrt3-1)\ \text{см}. \]

\[ BC=\frac{4{,}5\cdot\sin30^\circ}{\sin105^\circ} =2{,}25(\sqrt6-\sqrt2)\ \text{см} =\frac94(\sqrt6-\sqrt2)\ \text{см}. \]

Приближённо:

\[ AB\approx3{,}29\ \text{см},\qquad BC\approx2{,}33\ \text{см}. \]

Проверка: \(AC=4{,}5\) см — самая длинная сторона, так как она лежит напротив самого большого угла \(105^\circ\).

3)

Даны две стороны и угол между ними, поэтому применяем теорему косинусов:

\[ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C. \]

\[ AB^2=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cdot\cos60^\circ \]

\[ AB^2=49+100-140\cdot\frac12=79. \]

Следовательно,

\[ AB=\sqrt{79}\ \text{см}\approx8{,}89\ \text{см}. \]

Теперь найдём угол \(A\) по теореме косинусов:

\[ \cos A= \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{79+49-100}{14\sqrt{79}} =\frac{2}{\sqrt{79}}. \]

\[ \angle A\approx77^\circ. \]

Тогда

\[ \angle B=180^\circ-60^\circ-77^\circ\approx43^\circ. \]

Проверка: \(BC>AB>AC\), поэтому должно быть \(A>C>B\). Получаем \(77^\circ>60^\circ>43^\circ\), всё верно.