ВНУТРИ КВАДРАТА АВСД ВЫБРАНА Е ТАК ЧТО ТРЕУГОЛЬНИК ВЕС РАВНОСТОРОННИЙ НАЙДИТЕ БОЛЬШУЮ СТОРОНУ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Ответ: \(12\text{ см}\).

Пусть \(AB=a\), \(BC=b\), причём \(b\) — большая сторона. Обозначим диагональ:

\[ AC=d=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Поскольку прямая через середину \(AC\) перпендикулярна диагонали, из координатного расчёта получаем:

\[ AE=\frac{a^2+b^2}{2b}=\frac{d^2}{2b}, \]

а

\[ KE=\frac{ad}{b}. \]

По условию \(AE=KE=8\), поэтому

\[ \frac{d^2}{2b}=\frac{ad}{b}. \]

Сократим:

\[ d=2a. \]

Тогда

\[ b=\sqrt{d^2-a^2} =\sqrt{4a^2-a^2} =\sqrt3\,a. \]

Используем \(AE=8\):

\[ \frac{d^2}{2b} =\frac{4a^2}{2\sqrt3 a} =\frac{2a}{\sqrt3}=8. \]

Отсюда

\[ a=4\sqrt3,\qquad b=\sqrt3\cdot4\sqrt3=12. \]

Большая сторона прямоугольника равна \(12\text{ см}\).

Пусть \(O\) — середина диагонали \(AC\).

1. \(O\) — центр прямоугольника, поэтому он является серединой отрезка \(EK\):

\[ OE=\frac{KE}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}. \]

2. Треугольник \(AOE\) прямоугольный, так как \(OE\perp AC\). В нём:

\[ AE=8,\qquad OE=4. \]

Катет \(OE\) равен половине гипотенузы \(AE\), значит,

\[ \angle EAO=30^\circ. \]

Так как \(AE\subset AD\), \(AO\subset AC\), то

\[ \angle DAC=30^\circ. \]

3. В прямоугольном треугольнике \(ADC\) сторона \(DC=AB\), а \(AC\) — гипотенуза. Поэтому:

\[ AB=\frac{AC}{2}. \]

Найдём квадрат диагонали:

\[ AO^2=AE^2-OE^2=8^2-4^2=64-16=48. \]

Так как \(AC=2AO\), то

\[ AC^2=4AO^2=4\cdot48=192. \]

Следовательно,

\[ AB^2=\frac{AC^2}{4}=\frac{192}{4}=48. \]

По теореме Пифагора:

\[ AD^2=AC^2-AB^2=192-48=144, \]

значит,

\[ AD=12\text{ см}. \]

\[ \boxed{12\text{ см}} \]

Это большая сторона прямоугольника.