Виды треугольников при классификации их по углам

По сторонам треугольники бывают:

1. Равносторонний — все три стороны равны:
   \[ a=b=c. \]

2. Равнобедренный — две стороны равны:
   \[ a=b\ne c. \]

3. Разносторонний — все стороны имеют разную длину:
   \[ a\ne b,\quad b\ne c,\quad a\ne c. \]

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними выполняется с помощью линейки и транспортира (или циркуля).

Пусть даны стороны \(AB=a\), \(AC=b\) и угол \(\angle A=\alpha\).

1. Выбери точку \(A\) и проведи из неё луч \(AB\).
2. Построй из точки \(A\) угол \(\alpha\), второй его луч обозначь \(AC\).
3. На первом луче отложи отрезок \(AB=a\).
4. На втором луче отложи отрезок \(AC=b\).
5. Соедини точки \(B\) и \(C\) отрезком.

Полученный \(\triangle ABC\) — искомый.
Это построение называется построением по двум сторонам и углу между ними.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пусть дана сторона \(AB=a\) и углы \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\).

1. Построй отрезок \(AB\), равный данной стороне \(a\).
2. В точке \(A\) построй луч, образующий с \(AB\) угол \(\alpha\).
3. В точке \(B\) построй луч, образующий с \(BA\) угол \(\beta\). Оба луча должны быть расположены по одну сторону от \(AB\).
4. Обозначь точку их пересечения буквой \(C\).
5. Треугольник \(ABC\) — искомый.

Треугольник существует, если
\[ \alpha+\beta<180^\circ. \]

Третий угол равен: \[ \angle C=180^\circ-\alpha-\beta. \]