Дан треугольник АВС. Известно, что LACB = 76°, LABC = 33°. Точка D - пересечение биссектрисы угла С и серединного перпендикуляра к АС. Докажите, Что 2СD < BC.
\[ \angle A=180^\circ-76^\circ-33^\circ=71^\circ,\qquad \angle ACD=38^\circ. \]
Так как \(D\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\), \(DA=DC\). Поэтому \(\angle CAD=38^\circ\), \(\angle ADC=104^\circ\). По теореме синусов: \[ AC=CD\frac{\sin104^\circ}{\sin38^\circ} =2CD\cos38^\circ, \] то есть \[ 2CD=\frac{AC}{\cos38^\circ}. \]
Также \[ BC=AC\frac{\sin71^\circ}{\sin33^\circ}. \]
Так как \[ 2\sin71^\circ\cos38^\circ =\sin71^\circ+\sin33^\circ, \] то \(\sin71^\circ\cos38^\circ>\sin33^\circ\). Следовательно, \[ BC>\frac{AC}{\cos38^\circ}=2CD. \]
\[ \boxed{2CD<BC} \]
Обсуждение
3 сообщенияРеши без синусов
Реши без синусов
Обозначим \(M\) — середину \(AC\). Так как \(D\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\), то \(DA=DC\).
\[ \angle ACD=\frac{76^\circ}{2}=38^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике \(DCM\):
\[ CM=CD\cos38^\circ, \]
поэтому
\[ AC=2CM=2CD\cos38^\circ. \tag{1} \]
Теперь на луче \(CD\) возьмём точку \(E\) так, чтобы \(CE=CA\). В равнобедренном треугольнике \(ACE\):
\[ \angle CAE=\angle AEC=\frac{180^\circ-38^\circ}{2}=71^\circ. \]
Но \(\angle CAB=71^\circ\), значит, точки \(A,E,B\) лежат на одной прямой, причём \(E\) находится между \(A\) и \(B\).
Следовательно,
\[ \angle CEB=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]
Опустим из \(B\) перпендикуляр \(BH\) на прямую \(CE\). Так как \(\angle CEB>90^\circ\), точка \(H\) лежит за точкой \(E\), поэтому
\[ CH>CE. \]
В прямоугольном треугольнике \(BCH\):
\[ CH=BC\cos38^\circ. \]
С учётом \(CE=CA\) и (1) получаем:
\[ BC\cos38^\circ=CH>CE=CA=2CD\cos38^\circ. \]
Так как \(\cos38^\circ>0\), делим на него:
\[ \boxed{BC>2CD}. \]
