Реши задание на изображении

Краткий ответ:

• а) \(y=x^2+2x^4+1\) — чётная;
• б) \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\) — нечётная;
• в) \(y=\dfrac{-3x^2+1}{1-x^4}\) — чётная;
• г) \(y=5-3x^3\) — ни чётная, ни нечётная.

Решение

Функция является:

• чётной, если \(f(-x)=f(x)\);
• нечётной, если \(f(-x)=-f(x)\).

а) \(f(x)=x^2+2x^4+1\)

\[ f(-x)=(-x)^2+2(-x)^4+1=x^2+2x^4+1=f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

б) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)

\[ f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1} =\frac{-x}{x^2+1} =-f(x). \]

Следовательно, функция нечётная.

в) \(f(x)=\dfrac{-3x^2+1}{1-x^4}\)

Область определения: \(x\ne -1\) и \(x\ne 1\), она симметрична относительно нуля.

\[ f(-x)=\frac{-3(-x)^2+1}{1-(-x)^4} =\frac{-3x^2+1}{1-x^4} =f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

г) \(f(x)=5-3x^3\)

\[ f(-x)=5-3(-x)^3=5+3x^3. \]

Это не равно ни \(f(x)=5-3x^3\), ни

\[ -f(x)=-5+3x^3. \]

Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.