Помоги реши полностью
Краткие ответы:
\[ \boxed{\frac{20\sqrt{15}}{3}} \]
\[ \boxed{\frac{8\sqrt{42}}{21}} \]
Используем общий приём:
\[ \frac1{x-y}-\frac1{x+y} =\frac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)} =\frac{2y}{x^2-y^2}. \]
1) Первое выражение
\[ \frac{\frac1{11-2\sqrt{30}}-\frac1{11+2\sqrt{30}}} {\frac1{2\sqrt7-3\sqrt2}-\frac1{2\sqrt7+3\sqrt2}} \]
Вычислим числитель:
\[ \frac1{11-2\sqrt{30}}-\frac1{11+2\sqrt{30}} = \frac{4\sqrt{30}}{11^2-(2\sqrt{30})^2}. \]
\[ 11^2-(2\sqrt{30})^2=121-120=1, \]
поэтому
\[ \frac1{11-2\sqrt{30}}-\frac1{11+2\sqrt{30}} =4\sqrt{30}. \]
Теперь знаменатель:
\[ \frac1{2\sqrt7-3\sqrt2}-\frac1{2\sqrt7+3\sqrt2} = \frac{6\sqrt2}{(2\sqrt7)^2-(3\sqrt2)^2}. \]
\[ (2\sqrt7)^2-(3\sqrt2)^2=28-18=10, \]
значит,
\[ \frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}. \]
Тогда всё выражение равно:
\[ \frac{4\sqrt{30}}{\frac{3\sqrt2}{5}} = 4\sqrt{30}\cdot\frac5{3\sqrt2} = \frac{20\sqrt{30}}{3\sqrt2}. \]
Так как
\[ \frac{\sqrt{30}}{\sqrt2}=\sqrt{15}, \]
получаем:
\[ \boxed{\frac{20\sqrt{15}}3}. \]
2) Второе выражение
\[ \frac{\frac1{3\sqrt2-4}-\frac1{3\sqrt2+4}} {\frac1{5\sqrt2-\sqrt{42}}-\frac1{5\sqrt2+\sqrt{42}}} \]
Числитель:
\[ \frac1{3\sqrt2-4}-\frac1{3\sqrt2+4} = \frac{8}{(3\sqrt2)^2-4^2}. \]
\[ (3\sqrt2)^2-4^2=18-16=2, \]
поэтому
\[ \frac8{2}=4. \]
Знаменатель:
\[ \frac1{5\sqrt2-\sqrt{42}}-\frac1{5\sqrt2+\sqrt{42}} = \frac{2\sqrt{42}}{(5\sqrt2)^2-(\sqrt{42})^2}. \]
\[ (5\sqrt2)^2-(\sqrt{42})^2=50-42=8, \]
значит,
\[ \frac{2\sqrt{42}}8=\frac{\sqrt{42}}4. \]
Следовательно,
\[ \frac4{\frac{\sqrt{42}}4} = \frac{16}{\sqrt{42}}. \]
Рационализируем знаменатель:
\[ \frac{16}{\sqrt{42}}\cdot\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}} = \frac{16\sqrt{42}}{42} = \boxed{\frac{8\sqrt{42}}{21}}. \]
Проверка принципа: в обоих примерах применена формула
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2, \]
благодаря чему разность дробей упрощается до одной дроби.
