Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. НОД:

• а) \(\operatorname{НОД}(42,105)=21\);
• б) \(\operatorname{НОД}(588,252)=84\);
• в) \(\operatorname{НОД}(116,111)=1\);
• г) \(\operatorname{НОД}(924,396)=132\).

2. Взаимно простые пары: \[ (15;16),\ (15;77),\ (16;21),\ (16;77). \]

• а) \(364\) и \(495\) — взаимно простые;
• б) \(380\) и \(399\) — не являются взаимно простыми.

Решение

Правило: два числа взаимно просты, если их НОД равен \(1\). НОД удобно находить алгоритмом Евклида: делим большее число на меньшее и повторяем с остатком.

1. Найдём НОД

а)
\[ 105=42\cdot2+21, \] \[ 42=21\cdot2. \] Значит, \[ \operatorname{НОД}(42,105)=21. \]

б)
\[ 588=252\cdot2+84, \] \[ 252=84\cdot3. \] Следовательно, \[ \operatorname{НОД}(588,252)=84. \]

в)
\[ 116=111+5, \] \[ 111=5\cdot22+1. \] Значит, \[ \operatorname{НОД}(116,111)=1. \]

г)
\[ 924=396\cdot2+132, \] \[ 396=132\cdot3. \] Следовательно, \[ \operatorname{НОД}(924,396)=132. \]

2. Составим пары взаимно простых чисел

Разложим числа на простые множители: \[ 15=3\cdot5,\qquad 16=2^4, \] \[ 21=3\cdot7,\qquad 77=7\cdot11. \]

Проверяем пары:

• \(15\) и \(16\): общих простых множителей нет;
• \(15\) и \(21\): общий множитель \(3\), не подходят;
• \(15\) и \(77\): общих множителей нет;
• \(16\) и \(21\): общих множителей нет;
• \(16\) и \(77\): общих множителей нет;
• \(21\) и \(77\): общий множитель \(7\), не подходят.

Ответ: \[ \boxed{(15;16),\ (15;77),\ (16;21),\ (16;77)}. \]

3. Доказательство

а) \(364\) и \(495\) взаимно простые

Разложим на простые множители: \[ 364=2^2\cdot7\cdot13, \] \[ 495=3^2\cdot5\cdot11. \]

Общих простых множителей нет, поэтому \[ \operatorname{НОД}(364,495)=1. \] Следовательно, числа взаимно простые.

б) \(380\) и \(399\) не являются взаимно простыми

\[ 380=2^2\cdot5\cdot19, \] \[ 399=3\cdot7\cdot19. \]

У чисел есть общий делитель \(19\): \[ \operatorname{НОД}(380,399)=19>1. \] Значит, числа не являются взаимно простыми.