Реши задание на изображении

Question 1

Задача · 9 класс Задача №3707849

А

Аноним

05 октября 2026 19:57 · публичный вопрос

А

Аноним 05 октября 2026 19:57

Реши задание на изображении

Answer

Краткие ответы

\[ \sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\qquad \tg\alpha=-\frac32. \]
\[ \sin C=\frac25. \]
\[ a=2\sqrt{37}. \]
\[ \angle C=60^\circ. \]
\[ S=4\text{ м}^2. \]

Дополнительная задача: длина первой окружности в 4 раза больше длины второй.

Решение

1. Нахождение \(\sin\alpha,\cos\alpha,\tg\alpha\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник справа. Его катеты равны \(6\) и \(4\), поэтому гипотенуза:

\[ \sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \]

Острый угол между наклонной стороной и правой частью основания обозначим через \(\beta\). Тогда:

\[ \sin\beta=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}, \]

\[ \cos\beta=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \]

\[ \tg\beta=\frac64=\frac32. \]

Углы \(\alpha\) и \(\beta\) — смежные, поэтому:

\[ \alpha=180^\circ-\beta. \]

Следовательно:

\[ \sin\alpha=\sin\beta=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}, \]

\[ \cos\alpha=-\cos\beta=-\frac{2}{\sqrt{13}} =-\frac{2\sqrt{13}}{13}, \]

\[ \tg\alpha=-\tg\beta=-\frac32. \]

Проверка:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac9{13}+\frac4{13}=1. \]

2. Нахождение \(\sin C\)

По теореме синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{8}{\sin C}=\frac{10}{\sin30^\circ}. \]

Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем:

\[ \sin C=\frac{8\cdot\frac12}{10} =\frac4{10}=\frac25. \]

3. Нахождение стороны \(a\)

Используем теорему косинусов:

\[ a^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos120^\circ. \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), то:

\[ a^2=36+64-96\left(-\frac12\right) =100+48=148. \]

Следовательно:

\[ a=\sqrt{148}=2\sqrt{37}. \]

4. Нахождение угла \(C\)

По теореме косинусов:

\[ BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos C. \]

Подставим значения:

\[ (2\sqrt7)^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos C. \]

\[ 28=16+36-48\cos C. \]

\[ 48\cos C=24, \qquad \cos C=\frac12. \]

Значит,

\[ \boxed{\angle C=60^\circ}. \]

5. Площадь равнобедренного треугольника

Две боковые стороны равны \(4\) м, а угол между ними равен \(30^\circ\). Площадь по двум сторонам и углу между ними:

\[ S=\frac12ab\sin\gamma. \]

Подставим:

\[ S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin30^\circ =8\cdot\frac12=4\text{ м}^2. \]

Дополнительная задача

Пусть радиус первой окружности равен \(R\), а радиус второй — \(r\).

Расстояние между центрами внешне касающихся окружностей:

\[ R+r. \]

Касательная к первой окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому образуется прямоугольный треугольник:

\[ (R+r)^2=R^2+(3r)^2. \]

Раскроем скобки:

\[ R^2+2Rr+r^2=R^2+9r^2, \]

\[ 2Rr=8r^2, \]

\[ R=4r. \]

Длины окружностей относятся как их радиусы:

\[ \frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac Rr=4. \]

Ответ: первая окружность длиннее второй в \(4\) раза.

Question 2

Реши задание на изображении

Answer

### Краткие ответы 1. \[ \sin\alpha=\frac{3\sqrt{13}}{13},\qquad \cos\alpha=-\frac{2\sqrt{13}}{13},\qquad \tg\alpha=-\frac32. \] 2. \[ \sin C=\frac25. \] 3. \[ a=2\sqrt{37}. \] 4. \[ \angle C=60^\circ. \] 5. \[ S=4\text{ м}^2. \] Дополнительная задача: длина первой окружности в **4 раза** больше длины второй. --- ## Решение ### 1. Нахождение \(\sin\alpha,\cos\alpha,\tg\alpha\) Рассмотрим прямоугольный треугольник справа. Его катеты равны \(6\) и \(4\), поэтому гипотенуза: \[ \sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \] Острый угол между наклонной стороной и правой частью основания обозначим через \(\beta\). Тогда: \[ \sin\beta=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}, \] \[ \cos\beta=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}, \] \[ \tg\beta=\frac64=\frac32. \] Углы \(\alpha\) и \(\beta\) — смежные, поэтому: \[ \alpha=180^\circ-\beta. \] Следовательно: \[ \sin\alpha=\sin\beta=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}, \] \[ \cos\alpha=-\cos\beta=-\frac{2}{\sqrt{13}} =-\frac{2\sqrt{13}}{13}, \] \[ \tg\alpha=-\tg\beta=-\frac32. \] Проверка: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =\frac9{13}+\frac4{13}=1. \] --- ### 2. Нахождение \(\sin C\) По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \] Подставим данные: \[ \frac{8}{\sin C}=\frac{10}{\sin30^\circ}. \] Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем: \[ \sin C=\frac{8\cdot\frac12}{10} =\frac4{10}=\frac25. \] --- ### 3. Нахождение стороны \(a\) Используем теорему косинусов: \[ a^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos120^\circ. \] Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), то: \[ a^2=36+64-96\left(-\frac12\right) =100+48=148. \] Следовательно: \[ a=\sqrt{148}=2\sqrt{37}. \] --- ### 4. Нахождение угла \(C\) По теореме косинусов: \[ BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos C. \] Подставим значения: \[ (2\sqrt7)^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cos C. \] \[ 28=16+36-48\cos C. \] \[ 48\cos C=24, \qquad \cos C=\frac12. \] Значит, \[ \boxed{\angle C=60^\circ}. \] --- ### 5. Площадь равнобедренного треугольника Две боковые стороны равны \(4\) м, а угол между ними равен \(30^\circ\). Площадь по двум сторонам и углу между ними: \[ S=\frac12ab\sin\gamma. \] Подставим: \[ S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin30^\circ =8\cdot\frac12=4\text{ м}^2. \] --- ### Дополнительная задача Пусть радиус первой окружности равен \(R\), а радиус второй — \(r\). Расстояние между центрами внешне касающихся окружностей: \[ R+r. \] Касательная к первой окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Поэтому образуется прямоугольный треугольник: \[ (R+r)^2=R^2+(3r)^2. \] Раскроем скобки: \[ R^2+2Rr+r^2=R^2+9r^2, \] \[ 2Rr=8r^2, \] \[ R=4r. \] Длины окружностей относятся как их радиусы: \[ \frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac Rr=4. \] Ответ: первая окружность длиннее второй в \(4\) раза.