Реши задание на изображении

На фото видны задания № 1013–1015. Используем:

\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Ниже учитывается стандартное для этих заданий условие \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\), поэтому \(\sin\alpha\ge0\).

Краткие ответы

1013:

а) \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\);

б) \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt5}{3}\);

в) \(\sin\alpha=0\).

1014:

а) \(\displaystyle \cos\alpha=\pm\frac12\);

б) \(\displaystyle \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}4\);

в) \(\cos\alpha=\pm1\).

1015:

а) \(\tg\alpha=0\);

б) \(\displaystyle \tg\alpha=-\frac{\sqrt3}{3}\);

в) если \(0^\circ<\alpha<90^\circ\), то \(\tg\alpha=1\);

г) \(\displaystyle \tg\alpha=-\frac34\).

Решение

№ 1013

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}. \]

а)

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}. \]

б)

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac23\right)^2} =\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt5}{3}. \]

в)

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-(-1)^2}=0. \]

№ 1014

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}. \]

Знак «\(\pm\)» появляется потому, что угол может быть острым или тупым.

а)

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\pm\sqrt{\frac14}=\pm\frac12. \]

б)

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2} =\pm\sqrt{\frac{15}{16}} =\pm\frac{\sqrt{15}}4. \]

в)

\[ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-0^2}=\pm1. \]

№ 1015

а) Если \(\cos\alpha=1\), то \(\sin\alpha=0\). Поэтому

\[ \tg\alpha=\frac{0}{1}=0. \]

б)

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac12. \]

Тогда

\[ \tg\alpha= \frac{\frac12}{-\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac1{\sqrt3} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]

в) При \(0^\circ<\alpha<90^\circ\):

\[ \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tg\alpha= \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1. \]

г) Так как \(90^\circ<\alpha<180^\circ\), косинус отрицателен:

\[ \cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =-\frac45. \]

Следовательно,

\[ \tg\alpha= \frac{\frac35}{-\frac45} =-\frac34. \]

Проверка: например, для пункта 1015г

\[ \left(\frac35\right)^2+\left(-\frac45\right)^2 =\frac9{25}+\frac{16}{25}=1. \]

В условии пункта 1015в правая часть изображения обрезана; ответ \(1\) верен, если там указано \(0^\circ<\alpha<90^\circ\).