Все,все все кратко понятно про вектор
Кратко: вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление.
\(\overrightarrow{AB}\) направлен из точки \(A\) в точку \(B\).
1. Координаты вектора
Если \(A(x_1;y_1)\), \(B(x_2;y_2)\), то
\[ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1). \]
Запомни: координаты конца минус координаты начала.
Пример:
\[ A(2;-1),\quad B(6;2) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(6-2;\ 2-(-1))=(4;3). \]
2. Длина вектора
Если \(\vec a=(a_x;a_y)\), то
\[ |\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}. \]
Для примера:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2} =\sqrt{25}=5. \]
Проверка: это обычная теорема Пифагора: катеты \(4\) и \(3\), гипотенуза \(5\).
3. Виды векторов
- Нулевой вектор:
\[ \vec 0=(0;0) \]
У него нет определённого направления и длина равна \(0\).
- Равные векторы имеют одинаковые координаты:
\[ (2;3)=(2;3). \]
Их можно переносить параллельно — вектор не изменится.
- Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления:
\[ -\vec a=(-a_x;-a_y). \]
Например:
\[ \vec a=(4;3),\qquad -\vec a=(-4;-3). \]
Важно:
\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. \]
4. Сложение векторов
Координаты складываются по отдельности:
\[ \vec a+\vec b=(a_x+b_x;\ a_y+b_y). \]
Пример:
\[ (2;-1)+(3;4)=(5;3). \]
Геометрически действует правило треугольника:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}. \]
5. Вычитание векторов
Вычитание заменяем сложением с противоположным вектором:
\[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b). \]
Или сразу:
\[ (a_x;a_y)-(b_x;b_y) =(a_x-b_x;\ a_y-b_y). \]
Пример:
\[ (2;-1)-(3;4)=(-1;-5). \]
6. Умножение на число
\[ k\vec a=(ka_x;\ ka_y). \]
Пример:
\[ 3(2;-1)=(6;-3). \]
Длина изменяется так:
\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. \]
Если \(k>0\), направление сохраняется.
Если \(k<0\), направление меняется на противоположное.
7. Параллельность и перпендикулярность
Векторы параллельны, если один получается умножением другого на число:
\[ \vec b=k\vec a. \]
Для \(\vec a=(a_x;a_y)\) и \(\vec b=(b_x;b_y)\):
\[ a_xb_y-a_yb_x=0. \]
Скалярное произведение:
\[ \vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y. \]
Если
\[ \vec a\cdot\vec b=0, \]
то ненулевые векторы перпендикулярны.
Алгоритм решения задач
- Определи начало и конец вектора.
- Вычти координаты: конец минус начало.
- Для длины используй:
\[ \sqrt{x^2+y^2}. \]
- При действиях с векторами выполняй операции отдельно с \(x\) и \(y\).
- Проверь знаки и порядок точек.
Главное, что нужно запомнить
\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=B-A} \]
\[ \boxed{|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}} \]
\[ \boxed{\vec a+\vec b=(x_1+x_2;\ y_1+y_2)} \]
\[ \boxed{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}} \]
