Объясни это все кратко понятно

Кратко: любой вектор на плоскости можно представить как сумму двух составляющих. Если выбрать два неколлинеарных вектора, то коэффициенты этого разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты и есть координаты вектора.

1. Коллинеарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они направлены вдоль одной прямой или параллельных прямых.

Если \(\vec a\ne\vec 0\), то для коллинеарного с ним вектора \(\vec b\):

\[ \vec b=k\vec a. \]

• \(k>0\) — векторы направлены одинаково;
• \(k<0\) — направлены противоположно;
• \(k=0\) — \(\vec b=\vec 0\);
• длина изменяется в \(|k|\) раз:

\[ |\vec b|=|k|\cdot|\vec a|. \]

---

2. Разложение вектора

Если \(\vec a\) и \(\vec b\) не являются коллинеарными, то любой вектор \(\vec p\) можно разложить по ним:

\[ \boxed{\vec p=x\vec a+y\vec b}. \]

Числа \(x\) и \(y\) показывают, сколько раз нужно взять векторы \(\vec a\) и \(\vec b\), возможно изменив их направление.

Главное свойство:

\[ \boxed{\text{разложение существует и является единственным}}. \]

То есть нельзя получить один и тот же вектор \(\vec p\) двумя разными парами коэффициентов.

Почему: если

\[ x\vec a+y\vec b=x_1\vec a+y_1\vec b, \]

то после вычитания:

\[ (x-x_1)\vec a+(y-y_1)\vec b=\vec0. \]

Так как \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, это возможно только при

\[ x=x_1,\qquad y=y_1. \]

---

3. Координаты вектора

В прямоугольной системе координат есть два единичных вектора:

\[ \vec i=(1;0),\qquad \vec j=(0;1). \]

Любой вектор можно записать так:

\[ \vec p=x\vec i+y\vec j. \]

Числа \(x\) и \(y\) — это координаты вектора:

\[ \vec p=(x;y). \]

\(x\) показывает горизонтальную составляющую, а \(y\) — вертикальную. Отрицательное число означает направление в противоположную сторону.

---

4. Действия с координатами

Пусть

\[ \vec a=(x_1;y_1),\qquad \vec b=(x_2;y_2). \]

Тогда действия выполняются отдельно с каждой координатой:

\[ \vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2), \]

\[ \vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2), \]

\[ k\vec a=(kx_1;\,ky_1). \]

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

---

Пример

Дано:

\[ \vec a=(1;-2),\quad \vec b=(0;3),\quad \vec c=(-2;3), \]

\[ \vec p=2\vec a-\frac13\vec b+\vec c. \]

Сначала умножим:

\[ 2\vec a=(2;-4), \]

\[ -\frac13\vec b=(0;-1). \]

Теперь сложим:

\[ \vec p=(2;-4)+(0;-1)+(-2;3)=(0;-2). \]

Ответ:

\[ \boxed{\vec p=(0;-2)}. \]

Алгоритм для похожих заданий: умножить каждый вектор на его коэффициент, затем сложить отдельно первые и отдельно вторые координаты.