Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(45^\circ,\ 135^\circ,\ 45^\circ,\ 135^\circ\).
- \(75^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ\).
- \(18\text{ см}\) и \(22\text{ см}\).
- \(44\text{ см}\) — если отрезок \(8\text{ см}\) равен боковой стороне; при обратной разметке получится \(40\text{ см}\).
- \(P_{\text{ромба}}=24\sqrt5\text{ см}\),
\(P_{\triangle}=18+6\sqrt5\text{ см}\).
При отдельном условии про угол \(60^\circ\) углы ромба: \(60^\circ\) и \(120^\circ\). - \(15\text{ см}\).
- \(69\text{ см}\).
- \(38\text{ см}\).
- \(20\text{ см}\).
- \(9\text{ см}\).
Решение
1. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\). Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(3x\):
\[ x+3x=180^\circ,\qquad x=45^\circ. \]
Значит, углы: \(45^\circ\) и \(135^\circ\), а противоположные им равны.
2. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x+30^\circ\):
\[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \]
\[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \]
Второй угол:
\[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]
3. Пусть меньшая сторона прямоугольника \(x\) см, тогда большая — \(x+4\) см.
\[ 2(x+x+4)=80, \]
\[ 4x+8=80,\qquad x=18. \]
Большая сторона:
\[ 18+4=22\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(18+22)=80\text{ см}. \]
4. Противоположная сторона равна:
\[ 8+6=14\text{ см}. \]
Биссектриса угла параллелограмма образует равнобедренный треугольник, поэтому один из отрезков противоположной стороны равен боковой стороне параллелограмма.
- Если боковая сторона равна \(8\) см:
\[ P=2(14+8)=44\text{ см}. \]
- Если боковая сторона равна \(6\) см:
\[ P=2(14+6)=40\text{ см}. \]
На фото не указано, какой именно отрезок прилегает к вершине биссектрисы, поэтому строго по записи возможны оба варианта.
5. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны:
\[ \frac{12}{2}=6\text{ см},\qquad \frac{24}{2}=12\text{ см}. \]
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника:
\[ a=\sqrt{6^2+12^2} =\sqrt{36+144} =\sqrt{180}=6\sqrt5\text{ см}. \]
Периметр ромба:
\[ P=4a=24\sqrt5\text{ см}. \]
Периметр одного образовавшегося треугольника:
\[ P_{\triangle}=6+12+6\sqrt5 =18+6\sqrt5\text{ см}. \]
Если угол между диагональю и стороной равен \(60^\circ\), то диагональ делит угол ромба пополам. Поэтому углы ромба равны:
\[ 2\cdot60^\circ=120^\circ \]
и
\[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
Замечание: диагонали \(12\) см и \(24\) см не согласуются с углом \(60^\circ\) в одном и том же ромбе. Поэтому, вероятно, это две отдельные части задания.
6. Проекция каждой боковой стороны на большее основание:
\[ 10\cos60^\circ=5\text{ см}. \]
Разность оснований:
\[ 2\cdot5=10\text{ см}. \]
Меньшее основание:
\[ 25-10=15\text{ см}. \]
7. Разность оснований:
\[ 27-12=15\text{ см}. \]
На каждую боковую сторону приходится:
\[ \frac{15}{2}=7{,}5\text{ см}. \]
Пусть боковая сторона равна \(c\). Тогда:
\[ c\cos60^\circ=7{,}5, \]
\[ c\cdot\frac12=7{,}5,\qquad c=15\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=12+27+2\cdot15=69\text{ см}. \]
8. Средняя линия трапеции:
\[ m=\frac{a+b}{2}. \]
\[ 28=\frac{18+b}{2}, \]
\[ 56=18+b,\qquad b=38\text{ см}. \]
9. Пусть боковая сторона равна \(x\), а основания — \(a\) и \(b\).
По условию:
\[ x=\frac{a+b}{2}, \]
значит:
\[ a+b=2x. \]
Периметр:
\[ a+b+2x=80. \]
Подставим:
\[ 2x+2x=80,\qquad x=20\text{ см}. \]
10. Пусть основания равны \(a\) и \(a+4\). Средняя линия равна \(7\) см:
\[ \frac{a+(a+4)}{2}=7, \]
\[ 2a+4=14,\qquad a=5. \]
Большее основание:
\[ 5+4=9\text{ см}. \]
