Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(45^\circ,\ 135^\circ,\ 45^\circ,\ 135^\circ\).
- \(75^\circ,\ 105^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ\).
- \(18\) см и \(22\) см.
- По тексту возможны \(40\) см или \(44\) см — не указано, какая часть равна боковой стороне.
- По диагоналям:
\[ P_{\text{ромба}}=24\sqrt5\text{ см},\qquad P_{\triangle}=18+6\sqrt5\text{ см}. \] Но условие про угол \(60^\circ\) противоречит диагоналям \(12\) см и \(24\) см. - \(15\) см.
- \(69\) см.
- \(38\) см.
- \(20\) см.
- \(9\) см.
Решение
1. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\).
Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(3x\):
\[ x+3x=180^\circ,\qquad x=45^\circ. \]
Больший угол:
\[ 3\cdot45^\circ=135^\circ. \]
2. Пусть один угол \(x\), другой \(x+30^\circ\):
\[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \]
\[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \]
Второй угол:
\[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]
3. Пусть большая сторона прямоугольника \(x\) см, тогда меньшая \(x-4\) см.
\[ 2(x+x-4)=80, \]
\[ 4x-8=80,\qquad x=22. \]
Меньшая сторона:
\[ 22-4=18\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(22+18)=80\text{ см}. \]
4. Противоположная сторона параллелограмма равна
\[ 8+6=14\text{ см}. \]
Свойство биссектрисы: одна из частей противоположной стороны равна боковой стороне параллелограмма. Поэтому возможны два варианта:
\[ P=2(14+8)=44\text{ см}, \]
или
\[ P=2(14+6)=40\text{ см}. \]
Чтобы выбрать один ответ, нужно знать, какая часть прилегает к соответствующей вершине.
5. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам:
\[ \frac{12}{2}=6\text{ см},\qquad \frac{24}{2}=12\text{ см}. \]
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника:
\[ a=\sqrt{6^2+12^2} =\sqrt{36+144} =\sqrt{180}=6\sqrt5\text{ см}. \]
Периметр ромба:
\[ P=4a=24\sqrt5\text{ см}. \]
Периметр одного из четырёх треугольников:
\[ P_{\triangle}=6+12+6\sqrt5 =18+6\sqrt5\text{ см}. \]
Однако при диагоналях \(12\) см и \(24\) см углы, которые диагональ образует со сторонами, не равны \(60^\circ\). Действительно,
\[ \tan\alpha=\frac{12}{6}=2, \]
поэтому \(\alpha\approx63{,}4^\circ\), а второй такой угол примерно \(26{,}6^\circ\). Углы ромба тогда примерно:
\[ 126{,}9^\circ\quad\text{и}\quad53{,}1^\circ. \]
Если использовать только условие про \(60^\circ\), то углы ромба были бы \(60^\circ\) и \(120^\circ\).
6. Проекция каждой боковой стороны на большее основание:
\[ 10\cos60^\circ=5\text{ см}. \]
Разность оснований:
\[ 2\cdot5=10\text{ см}. \]
Меньшее основание:
\[ 25-10=15\text{ см}. \]
7. Разность оснований:
\[ 27-12=15\text{ см}. \]
На каждую боковую сторону приходится половина разности:
\[ \frac{15}{2}=7{,}5\text{ см}. \]
Пусть боковая сторона \(l\). Тогда:
\[ l\cos60^\circ=7{,}5, \]
\[ l\cdot\frac12=7{,}5,\qquad l=15\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=12+27+2\cdot15=69\text{ см}. \]
8. Средняя линия трапеции:
\[ m=\frac{a+b}{2}. \]
Пусть большее основание \(x\):
\[ 28=\frac{x+18}{2}, \]
\[ x+18=56,\qquad x=38\text{ см}. \]
9. Пусть боковая сторона равна \(x\) см. По условию средняя линия тоже равна \(x\):
\[ \frac{a+b}{2}=x, \]
значит,
\[ a+b=2x. \]
Периметр:
\[ 80=a+b+2x=2x+2x=4x. \]
\[ x=20\text{ см}. \]
10. Сумма оснований равна удвоенной средней линии:
\[ a+b=2\cdot7=14. \]
Пусть большее основание \(a\), тогда:
\[ a-b=4. \]
Складываем уравнения:
\[ 2a=18,\qquad a=9\text{ см}. \]
