Решние

Хорошо, решу все задания № 267–273. Пришли, пожалуйста, фото ещё раз — условие сейчас не отображается.

Я готов решить все задания № 267–273, но фото с условиями сейчас не отображается. Пришли его ещё раз, пожалуйста.

Это продолжение текущей учебной цели: фотография досылает условия №267–273 после просьбы прислать изображение ещё раз. Решаю все видимые задания.

Используем правило: \(\log_a b=x \iff a^x=b\).

№267

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_2 16=4;\\ 2)&\ \log_2 64=6;\\ 3)&\ \log_2 2=1;\\ 4)&\ \log_2 1=0. \end{aligned} \]

№268

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_2\frac12=-1;\\ 2)&\ \log_2\frac18=-3;\\ 3)&\ \log_2\sqrt2=\frac12;\\ 4)&\ \log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12. \end{aligned} \]

№269

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_3 27=3;\\ 2)&\ \log_3 81=4;\\ 3)&\ \log_3\sqrt[4]{3}=\frac14;\\ 4)&\ \log_3 1=0. \end{aligned} \]

№270

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_3\frac19=-2;\\ 2)&\ \log_3\frac13=-1;\\ 3)&\ \log_3\sqrt[3]{3}=\frac13;\\ 4)&\ \log_3\frac1{\sqrt[3]{3}}=-\frac13. \end{aligned} \]

№271

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_{\frac12}\frac1{32}=5;\\ 2)&\ \log_{\frac12}4=-2;\\ 3)&\ \log_{0{,}5}0{,}125=3;\\ 4)&\ \log_{0{,}5}\frac12=1;\\ 5)&\ \log_{0{,}5}1=0;\\ 6)&\ \log_{\frac12}\sqrt[3]{2}=-\frac13. \end{aligned} \]

№272

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_5 625=4;\\ 2)&\ \log_6 216=3;\\ 3)&\ \log_4\frac1{16}=-2;\\ 4)&\ \log_5\frac1{125}=-3. \end{aligned} \]

№273

\[ \begin{aligned} 1)&\ \log_{\frac15}125=-3;\\ 2)&\ \log_{\frac13}27=-3;\\ 3)&\ \log_{\frac14}\frac1{64}=3;\\ 4)&\ \log_{\frac16}36=-2. \end{aligned} \]

Распишем каждое задание по определению логарифма:

\[ \log_a b=x \Longleftrightarrow a^x=b. \]

То есть нужно представить число под логарифмом как степень его основания.

№ 267

1. \[ \log_2 16=x \] \[ 2^x=16=2^4 \] \[ \boxed{x=4} \]

2. \[ \log_2 64=x \] \[ 2^x=64=2^6 \] \[ \boxed{x=6} \]

3. \[ \log_2 2=x \] \[ 2^x=2^1 \] \[ \boxed{x=1} \]

4. \[ \log_2 1=x \] \[ 2^x=1=2^0 \] \[ \boxed{x=0} \]

№ 268

1. \[ \log_2\frac12=x \] \[ 2^x=\frac12=2^{-1} \] \[ \boxed{x=-1} \]

2. \[ \log_2\frac18=x \] \[ 2^x=\frac18=2^{-3} \] \[ \boxed{x=-3} \]

3. \[ \log_2\sqrt2=x \] \[ 2^x=\sqrt2=2^{\frac12} \] \[ \boxed{x=\frac12} \]

4. \[ \log_2\frac1{\sqrt2}=x \] \[ 2^x=\frac1{\sqrt2}=2^{-\frac12} \] \[ \boxed{x=-\frac12} \]

№ 269

1. \[ \log_3 27=x \] \[ 3^x=27=3^3 \] \[ \boxed{x=3} \]

2. \[ \log_3 81=x \] \[ 3^x=81=3^4 \] \[ \boxed{x=4} \]

3. \[ \log_3\sqrt[4]{3}=x \] \[ 3^x=\sqrt[4]{3}=3^{\frac14} \] \[ \boxed{x=\frac14} \]

4. \[ \log_3 1=x \] \[ 3^x=1=3^0 \] \[ \boxed{x=0} \]

№ 270

1. \[ \log_3\frac19=x \] \[ 3^x=\frac19=3^{-2} \] \[ \boxed{x=-2} \]

2. \[ \log_3\frac13=x \] \[ 3^x=\frac13=3^{-1} \] \[ \boxed{x=-1} \]

3. \[ \log_3\sqrt[3]{3}=x \] \[ 3^x=\sqrt[3]{3}=3^{\frac13} \] \[ \boxed{x=\frac13} \]

4. \[ \log_3\frac1{\sqrt[3]{3}}=x \] \[ 3^x=\frac1{\sqrt[3]{3}}=3^{-\frac13} \] \[ \boxed{x=-\frac13} \]

№ 271

Здесь основание логарифма равно \(\frac12\).

1. \[ \log_{\frac12}\frac1{32}=x \] \[ \left(\frac12\right)^x=\frac1{32} =\left(\frac12\right)^5 \] \[ \boxed{x=5} \]

2. \[ \log_{\frac12}4=x \] \[ \left(\frac12\right)^x=4 =\left(\frac12\right)^{-2} \] \[ \boxed{x=-2} \]

3. \[ \log_{0,5}0,125=x \] \[ 0,5=\frac12,\qquad 0,125=\frac18 \] \[ \left(\frac12\right)^x=\frac18 =\left(\frac12\right)^3 \] \[ \boxed{x=3} \]

4. \[ \log_{0,5}\frac12=x \] \[ \left(\frac12\right)^x=\frac12 =\left(\frac12\right)^1 \] \[ \boxed{x=1} \]

5. \[ \log_{0,5}1=x \] \[ \left(\frac12\right)^x=1 =\left(\frac12\right)^0 \] \[ \boxed{x=0} \]

6. \[ \log_{\frac12}\sqrt[3]{2}=x \] \[ \left(\frac12\right)^x=\sqrt[3]{2} \] \[ \left(\frac12\right)^{-\frac13} =2^{\frac13} =\sqrt[3]{2} \] \[ \boxed{x=-\frac13} \]

№ 272

1. \[ \log_5 625=x \] \[ 5^x=625=5^4 \] \[ \boxed{x=4} \]

2. \[ \log_6 216=x \] \[ 6^x=216=6^3 \] \[ \boxed{x=3} \]

3. \[ \log_4\frac1{16}=x \] \[ 4^x=\frac1{16}=4^{-2} \] \[ \boxed{x=-2} \]

4. \[ \log_5\frac1{125}=x \] \[ 5^x=\frac1{125}=5^{-3} \] \[ \boxed{x=-3} \]

№ 273

1. \[ \log_{\frac15}125=x \] \[ \left(\frac15\right)^x=125 \] Так как \[ 125=5^3=\left(\frac15\right)^{-3}, \] то \[ \boxed{x=-3} \]

2. \[ \log_{\frac13}27=x \] \[ \left(\frac13\right)^x=27 \] Так как \[ 27=3^3=\left(\frac13\right)^{-3}, \] то \[ \boxed{x=-3} \]

3. \[ \log_{\frac14}\frac1{64}=x \] \[ \left(\frac14\right)^x=\frac1{64} \] \[ \left(\frac14\right)^3=\frac1{4^3} =\frac1{64} \] \[ \boxed{x=3} \]

4. \[ \log_{\frac16}36=x \] \[ \left(\frac16\right)^x=36 \] \[ \left(\frac16\right)^{-2}=6^2=36 \] \[ \boxed{x=-2} \]