Рассмотрим левую часть:

\[ 2x^2+7xy-4y^2. \]

Нужно разложить средний член \(7xy\). Подберём числа \(8\) и \(-1\):

\[ 8+(-1)=7,\qquad 8\cdot(-1)=-8=2\cdot(-4). \]

Поэтому:

\[ \begin{aligned} 2x^2+7xy-4y^2 &=2x^2+8xy-xy-4y^2\\ &=2x(x+4y)-y(x+4y)\\ &=(2x-y)(x+4y). \end{aligned} \]

Значит, первое уравнение принимает вид:

\[ (2x-y)(x+4y)=0. \]

Отсюда:

\[ 2x-y=0 \quad \text{или} \quad x+4y=0. \]

457а

Дана система: \[ \begin{cases} xy=-2,\\ (x-y)^2+x+y=10. \end{cases} \]

Обозначим: \[ s=x+y. \]

Так как \[ (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=s^2+8, \] получаем: \[ s^2+8+s=10, \] \[ s^2+s-2=0, \] \[ (s-1)(s+2)=0. \]

1) \(s=1\)

\[ x+y=1,\qquad xy=-2. \]

Числа \(x\) и \(y\) — корни уравнения: \[ t^2-t-2=0, \] \[ (t-2)(t+1)=0. \]

Отсюда: \[ (x;y)=(2;-1),\;(-1;2). \]

2) \(s=-2\)

\[ x+y=-2,\qquad xy=-2. \]

\[ t^2+2t-2=0, \] \[ t=-1\pm\sqrt3. \]

Отсюда: \[ (x;y)=(-1+\sqrt3;-1-\sqrt3), \] \[ (x;y)=(-1-\sqrt3;-1+\sqrt3). \]

Ответ: \[ \boxed{(2;-1),\;(-1;2),\;(-1+\sqrt3;-1-\sqrt3),\;(-1-\sqrt3;-1+\sqrt3)}. \]

---

458а

\[ \begin{cases} 2x^2+4xy-5y=1,\\ x^2+xy-6y^2=0. \end{cases} \]

Разложим второе уравнение: \[ x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y)=0. \]

Значит, возможны два случая.

1) \(x+3y=0\), то есть \(x=-3y\)

Подставим в первое уравнение: \[ 2(-3y)^2+4(-3y)y-5y=1, \] \[ 18y^2-12y^2-5y=1, \] \[ 6y^2-5y-1=0. \]

\[ y=\frac{5\pm7}{12}. \]

Получаем:

• \(y=1,\; x=-3\);
• \(y=-\frac16,\; x=\frac12\).

2) \(x-2y=0\), то есть \(x=2y\)

\[ 2(2y)^2+4(2y)y-5y=1, \] \[ 16y^2-5y-1=0. \]

\[ y=\frac{5\pm\sqrt{89}}{32}, \qquad x=2y=\frac{5\pm\sqrt{89}}{16}. \]

Ответ: \[ \boxed{ (-3;1),\; \left(\frac12;-\frac16\right),\; \left(\frac{5+\sqrt{89}}{16};\frac{5+\sqrt{89}}{32}\right),\; \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16};\frac{5-\sqrt{89}}{32}\right) }. \]

Разберём 457а и 458а подробно.

457а

Система:

\[ \begin{cases} xy=-2,\\ (x-y)^2+x+y=10. \end{cases} \]

Шаг 1. Введём сумму \(x+y\)

Во втором уравнении встречается \(x+y\), поэтому обозначим:

\[ s=x+y. \]

Используем формулу:

\[ (x-y)^2=(x+y)^2-4xy. \]

Так как \(x+y=s\), а \(xy=-2\), получаем:

\[ (x-y)^2=s^2-4(-2)=s^2+8. \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ s^2+8+s=10. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ s^2+s-2=0. \]

Разложим на множители:

\[ (s-1)(s+2)=0. \]

Произведение равно нулю, значит:

\[ s-1=0 \quad \text{или} \quad s+2=0. \]

То есть:

\[ x+y=1 \quad \text{или} \quad x+y=-2. \]

---

Случай 1: \(x+y=1\)

Также известно:

\[ xy=-2. \]

Числа \(x\) и \(y\) являются корнями квадратного уравнения:

\[ t^2-(x+y)t+xy=0. \]

Подставим сумму и произведение:

\[ t^2-t-2=0. \]

Разложим:

\[ (t-2)(t+1)=0. \]

Значит:

\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=-1. \]

Поэтому \(x\) и \(y\) могут быть равны \(2\) и \(-1\) в любом порядке:

\[ (x;y)=(2;-1), \]

\[ (x;y)=(-1;2). \]

---

Случай 2: \(x+y=-2\)

Снова используем уравнение для \(x\) и \(y\):

\[ t^2-(x+y)t+xy=0. \]

Подставим \(x+y=-2\) и \(xy=-2\):

\[ t^2+2t-2=0. \]

По формуле корней:

\[ t=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]

Так как

\[ \sqrt{12}=2\sqrt3, \]

то

\[ t=\frac{-2\pm2\sqrt3}{2}=-1\pm\sqrt3. \]

Следовательно:

\[ (x;y)=(-1+\sqrt3;-1-\sqrt3), \]

или

\[ (x;y)=(-1-\sqrt3;-1+\sqrt3). \]

Ответ к 457а:

\[ \boxed{ (2;-1),\;(-1;2),\; (-1+\sqrt3;-1-\sqrt3),\; (-1-\sqrt3;-1+\sqrt3) } \]

---

458а

Система:

\[ \begin{cases} 2x^2+4xy-5y=1,\\ x^2+xy-6y^2=0. \end{cases} \]

Шаг 1. Разложим второе уравнение

Нужно разложить выражение:

\[ x^2+xy-6y^2. \]

Ищем два числа, произведение которых равно \(-6\), а сумма равна \(1\):

\[ 3\cdot(-2)=-6, \qquad 3+(-2)=1. \]

Поэтому:

\[ x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y). \]

Второе уравнение принимает вид:

\[ (x+3y)(x-2y)=0. \]

Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x+3y=0 \quad\text{или}\quad x-2y=0. \]

Получаем два случая.

---

Случай 1: \(x+3y=0\)

Выразим \(x\):

\[ x=-3y. \]

Подставим это в первое уравнение:

\[ 2x^2+4xy-5y=1. \]

Вместо \(x\) записываем \(-3y\):

\[ 2(-3y)^2+4(-3y)y-5y=1. \]

Вычислим:

\[ (-3y)^2=9y^2, \]

поэтому:

\[ 18y^2-12y^2-5y=1. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 6y^2-5y=1. \]

Перенесём \(1\) в левую часть:

\[ 6y^2-5y-1=0. \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D=(-5)^2-4\cdot6\cdot(-1)=25+24=49. \]

\[ \sqrt D=7. \]

\[ y=\frac{5\pm7}{12}. \]

Получаем два значения:

\[ y_1=\frac{5+7}{12}=1, \]

\[ y_2=\frac{5-7}{12}=-\frac16. \]

Теперь найдём \(x\), используя \(x=-3y\).

Если \(y=1\), то:

\[ x=-3\cdot1=-3. \]

Получаем:

\[ (x;y)=(-3;1). \]

Если \(y=-\frac16\), то:

\[ x=-3\cdot\left(-\frac16\right)=\frac12. \]

Получаем:

\[ (x;y)=\left(\frac12;-\frac16\right). \]

---

Случай 2: \(x-2y=0\)

Выразим \(x\):

\[ x=2y. \]

Подставим в первое уравнение:

\[ 2(2y)^2+4(2y)y-5y=1. \]

Вычислим:

\[ (2y)^2=4y^2, \]

поэтому:

\[ 8y^2+8y^2-5y=1. \]

\[ 16y^2-5y=1. \]

Перенесём \(1\) в левую часть:

\[ 16y^2-5y-1=0. \]

Найдём дискриминант:

\[ D=(-5)^2-4\cdot16\cdot(-1) =25+64=89. \]

Тогда:

\[ y=\frac{5\pm\sqrt{89}}{32}. \]

Так как \(x=2y\), умножим найденное значение \(y\) на \(2\):

\[ x=2\cdot\frac{5\pm\sqrt{89}}{32} =\frac{5\pm\sqrt{89}}{16}. \]

Получаем две пары:

\[ \left( \frac{5+\sqrt{89}}{16}; \frac{5+\sqrt{89}}{32} \right), \]

\[ \left( \frac{5-\sqrt{89}}{16}; \frac{5-\sqrt{89}}{32} \right). \]

Ответ к 458а:

\[ \boxed{ (-3;1),\; \left(\frac12;-\frac16\right),\; \left( \frac{5+\sqrt{89}}{16}; \frac{5+\sqrt{89}}{32} \right),\; \left( \frac{5-\sqrt{89}}{16}; \frac{5-\sqrt{89}}{32} \right) } \]

В 457а мы использовали сумму и произведение \(x+y\) и \(xy\), а в 458а — разложение второго уравнения на множители и метод двух случаев.