459 а объясни как решать такие уравнения
Краткий ответ:
\[ \boxed{(2;1),\ (2;-3),\ (-2;3),\ (-2;-1)} \]
Решение
Дана система:
\[ \begin{cases} 2x^2-xy=y^2+5,\\ x^2-xy=y^2+1. \end{cases} \]
1. Вычтем второе уравнение из первого
Так уничтожаются одинаковые слагаемые \(-xy\) и \(y^2\):
\[ (2x^2-xy)-(x^2-xy)=(y^2+5)-(y^2+1). \]
Получаем:
\[ x^2=4, \]
значит,
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=-2. \]
Важно: из \(x^2=4\) нужно взять оба значения \(x\).
2. Подставим найденные значения во второе уравнение
Из второго уравнения:
\[ x^2-xy=y^2+1. \]
Так как \(x^2=4\), имеем:
\[ 4-xy=y^2+1, \]
\[ y^2+xy-3=0. \]
Если \(x=2\):
\[ y^2+2y-3=0, \]
\[ (y-1)(y+3)=0. \]
Отсюда:
\[ y=1 \quad \text{или} \quad y=-3. \]
Получаем пары:
\[ (2;1),\quad (2;-3). \]
Если \(x=-2\):
\[ y^2-2y-3=0, \]
\[ (y-3)(y+1)=0. \]
Отсюда:
\[ y=3 \quad \text{или} \quad y=-1. \]
Получаем пары:
\[ (-2;3),\quad (-2;-1). \]
Ответ
\[ \boxed{(2;1),\ (2;-3),\ (-2;3),\ (-2;-1)} \]
Как решать похожие системы
Если в двух уравнениях есть похожие выражения, например \(x^2\), \(xy\), \(y^2\), попробуй:
- вычесть одно уравнение из другого;
- получить более простое уравнение для \(x\) или \(y\);
- найти возможные значения этой переменной;
- подставить их в одно из исходных уравнений;
- проверить найденные пары.
Здесь вычитание сразу дало простое уравнение \(x^2=4\), поэтому этот способ особенно удобен. Поскольку после нахождения \(x^2=4\) второе уравнение выполнено, первое тоже выполнено: первое уравнение получается из второго прибавлением \(x^2=4\).
