Реши задание на изображении
Упрощение уравнения
Я работаю над разложением выражения x²-16 на множители, которое раскладывается как (x-4)(x+4). Общий знаменатель будет x(x-4)(x+4). Теперь я вычисляю: моя первая дробь — 2/(x-4), а вторая — -(x+8)/[(x-4)(x+4)]. Итак, я объединяю их. Похоже, я могу упростить это до (x)/(...) и затем мне придётся разобраться с частью -1/x; это интересный процесс объединения рациональных выражений!
Вычисление целых значений выражения
Мне нужно найти, при каких значениях выражение \(((b-2)^2 + 8b +1)/b\) является целым числом. Сначала я упрощаю числитель до \(b^2 + 4b + 5\) и проверяю, что \(b \neq 0\). Чтобы выражение было целым числом, \(5/b\) также должно быть целым числом, то есть \(b\) может быть равен \(±1\) или \(±5\). Я могу подтвердить значения \(b = -5, -1, 1, 5\), а также проверить, что \(b = 0\) недопустимо. Хорошим следующим шагом могло бы быть спросить: «Разобрать подробнее сокращение дробей?»
Объяснение упрощения дробей
Мне нужно рассмотреть вопрос «Хочешь, я отдельно объясню общий способ приведения дробей?», который укладывается в 60 символов. Он соответствует режиму углубления в тему. Я должен начать с краткого ответа, сказав: «Краткий ответ: ...», и перечислить все соответствующие ответы, прежде чем перейти к подробному решению.
Для задания 2a я вижу, что выражение включает \(-\frac{1-a^2}{a^2}\). Я решу \( \frac{3-2a}{2a} - \frac{1-a^{2}}{a^2}\), представив его в виде одной дроби с общим знаменателем \(2a^2\). Числитель становится равен \(3a - 2\), что приводит к \(\frac{3a-2}{2a^2}\), при этом важно отметить, что \(a \neq 0\).
Упрощение выражения
Я думаю над упрощением выражения \((x-6y²)/(2y)+3y\). После преобразования оно сводится к \(x/(2y)\), при этом нужно помнить, что \(y\) не может быть равен нулю. Затем я подставляю вместо \(y\) значение \(0.2\) и вычисляю \(-8/(0.2)\), что даёт \(-40\). Приятно находить такие элегантные решения! Иногда прямые вычисления просто складываются, и я ценю такие моменты ясности.
Краткий ответ:
а) \(\dfrac{3x}{2y}\);
б) \(\dfrac{5}{y-2}\);
в) \(\dfrac{3}{a+b}\).а) \(\dfrac{3a-2}{2a^2}\);
б) \(\dfrac{-2y}{9x^2-y^2}\);
в) \(\dfrac{4}{b(b-2)}\).\(-40\).
\(\dfrac{16}{x(x^2-16)}\).
\(b=-5,-1,1,5\).
Решение
1. Сократим дроби
а) \[ \frac{39x^3y}{26x^2y^2} =\frac{3x}{2y}. \]
б) \[ \frac{5y}{y^2-2y} =\frac{5y}{y(y-2)} =\frac{5}{y-2}. \]
в) \[ \frac{3a-3b}{a^2-b^2} =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{3}{a+b}. \]
При сокращении исходные ограничения сохраняются: знаменатель не должен быть равен нулю.
2. Представим в виде одной дроби
а) \[ \frac{3-2a}{2a}-\frac{1-a^2}{a^2} = \frac{a(3-2a)-2(1-a^2)}{2a^2} \] \[ =\frac{3a-2a^2-2+2a^2}{2a^2} =\frac{3a-2}{2a^2}. \]
б) \[ \frac1{3x+y}-\frac1{3x-y} = \frac{(3x-y)-(3x+y)}{(3x+y)(3x-y)} \] \[ =\frac{-2y}{9x^2-y^2}. \]
в) \[ \frac{4-3b}{b^2-2b}+\frac3{b-2} = \frac{4-3b}{b(b-2)}+\frac{3b}{b(b-2)} \] \[ =\frac4{b(b-2)}. \]
3. Найдём значение выражения
\[ \frac{x-6y^2}{2y}+3y = \frac{x}{2y}-3y+3y = \frac{x}{2y}. \]
Подставим \(x=-8,\ y=0{,}1\):
\[ \frac{-8}{2\cdot0{,}1} =\frac{-8}{0{,}2} =-40. \]
4. Упростим выражение
\[ \frac2{x-4}-\frac{x+8}{x^2-16}-\frac1x. \]
Разложим разность квадратов:
\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]
Тогда
\[ \frac2{x-4}-\frac{x+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{2(x+4)-(x+8)}{(x-4)(x+4)} \] \[ =\frac{x}{x^2-16}. \]
Теперь:
\[ \frac{x}{x^2-16}-\frac1x = \frac{x^2-(x^2-16)}{x(x^2-16)} = \frac{16}{x(x^2-16)}. \]
Ограничения: \(x\ne -4,\ 0,\ 4\).
5. Найдём целые значения \(b\)
\[ \frac{(b-2)^2+8b+1}{b} = \frac{b^2-4b+4+8b+1}{b} \] \[ =\frac{b^2+4b+5}{b} =b+4+\frac5b. \]
Так как \(b\) — целое число, дробь \(\frac5b\) будет целой только при делителях числа \(5\):
\[ b=\pm1,\ \pm5. \]
Ответ:
\[ \boxed{b\in\{-5,-1,1,5\}}. \]
