Краткие ответы

На фото полностью читаются задачи 7–8 по простым процентам и задачи 1–8 по сложным процентам.

Простые проценты:

• №7: \(50\,000\) руб.
• №8: \(12{,}5\) года, то есть 12 лет 6 месяцев.

Сложные проценты:

• №1: \(1331\) руб.
• №2: примерно \(9{,}54\%\) годовых.
• №3: примерно \(9{,}01\) года.
• №4: примерно \(1425{,}97\) руб.
• №5: да, будет \(116\,405{,}10\) руб.
• №6: выгоднее банк с \(8\%\) годовых, но \(75\,000\) руб. не получится ни в одном банке.
• №7: примерно \(49\,762{,}65\) руб.
• №8: примерно \(5{,}99\) года, то есть около 6 лет.

Формулы

Процент переводим в десятичную дробь:

\[ 0{,}5\%=0{,}005,\qquad 6\%=0{,}06. \]

Для простых процентов:

\[ S_n=S_0(1+np). \]

Для сложных процентов:

\[ S_n=S_0(1+p)^n. \]

Здесь \(S_0\) — первоначальная сумма, \(S_n\) — конечная сумма, \(p\) — процентная ставка в виде десятичной дроби, \(n\) — количество периодов.

---

Простые проценты

Задача 7

3 года — это:

\[ 3\cdot 12=36\text{ месяцев}. \]

По формуле простых процентов:

\[ 59000=S_0(1+36\cdot 0{,}005). \]

\[ 59000=1{,}18S_0, \]

\[ S_0=\frac{59000}{1{,}18}=50000. \]

Ответ: \(50\,000\) рублей.

---

Задача 8

Сумма должна удвоиться:

\[ S_n=2\cdot 50000. \]

\[ 100000=50000(1+0{,}08n). \]

\[ 2=1+0{,}08n, \]

\[ n=\frac{1}{0{,}08}=12{,}5. \]

Ответ: через \(12{,}5\) года, то есть через 12 лет 6 месяцев.

---

Сложные проценты

Задача 1

\[ S_3=1000(1+0{,}1)^3. \]

\[ S_3=1000\cdot 1{,}1^3=1000\cdot 1{,}331=1331. \]

Ответ: \(1331\) рубль.

---

Задача 2

\[ 120000=100000(1+p)^2. \]

\[ (1+p)^2=1{,}2. \]

\[ 1+p=\sqrt{1{,}2}, \]

\[ p=\sqrt{1{,}2}-1\approx 0{,}09545. \]

Переводим в проценты:

\[ p\approx 9{,}54\%. \]

Ответ: примерно \(9{,}54\%\) годовых.

---

Задача 3

\[ 20000=10000(1{,}08)^n. \]

\[ 2=1{,}08^n. \]

Используем логарифмы:

\[ n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}08}\approx 9{,}01. \]

Ответ: примерно через \(9{,}01\) года, то есть около 9 лет.

Если проценты начисляются только в конце каждого полного года, то сумма станет не меньше \(20\,000\) рублей на 10-м году.

---

Задача 4

\[ 2000=S_0(1{,}07)^5. \]

\[ S_0=\frac{2000}{1{,}07^5}. \]

\[ S_0\approx \frac{2000}{1{,}40255}\approx 1425{,}97. \]

Ответ: примерно \(1426\) рублей.

---

Задача 5

Через 10 лет:

\[ S_{10}=65000(1{,}06)^{10}. \]

\[ S_{10}\approx 65000\cdot 1{,}79085\approx 116405{,}10. \]

Сравним:

\[ 116405{,}10>100000. \]

Ответ: да, необходимая сумма будет. На счёте будет примерно \(116\,405\) рублей.

Запас составит:

\[ 116405{,}10-100000=16405{,}10\text{ руб.} \]

---

Задача 6

Первый банк: \(8\%\) годовых

\[ S_1=50000(1{,}08)^5. \]

\[ S_1\approx 73466{,}40\text{ руб.} \]

Второй банк: \(0{,}5\%\) в месяц

5 лет — это 60 месяцев:

\[ S_2=50000(1{,}005)^{60}. \]

\[ S_2\approx 67442{,}51\text{ руб.} \]

Сравнение:

\[ 73466{,}40>67442{,}51, \]

но обе суммы меньше \(75\,000\) рублей.

Ответ: выгоднее первый банк с \(8\%\) годовых, но ни один банк не обеспечит получение \(75\,000\) рублей.

---

Задача 7

3 года — это 36 месяцев:

\[ 59550=S_0(1{,}005)^{36}. \]

\[ S_0=\frac{59550}{1{,}005^{36}}. \]

\[ S_0\approx \frac{59550}{1{,}19668}\approx 49762{,}65. \]

Ответ: примерно \(49\,762{,}65\) рубля, то есть около \(49\,763\) рублей.

---

Задача 8

Сумма должна увеличиться в \(1{,}5\) раза:

\[ 75000=50000(1{,}07)^n. \]

\[ 1{,}5=1{,}07^n. \]

\[ n=\frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}07}\approx 5{,}99. \]

Ответ: примерно через \(5{,}99\) года, то есть через 6 лет.

Проверка:

\[ 50000\cdot 1{,}07^6\approx 75036{,}52\text{ руб.} \]

Задача, расположенная выше №7, на фото обрезана, поэтому её условие определить нельзя.