2.4(б) 2.6(в,г) 2.8(в,г)
Краткий ответ
- 2.4(б): \(y=5-x^3-6x^5\) — строго убывает на \(\mathbb R\).
- 2.6(в): ограничена сверху: \(y\le \dfrac{39}{2}\); снизу не ограничена.
- 2.6(г): ограничена снизу: \(y>2\); сверху не ограничена.
- 2.8(в): наименьшее значение \(-9\) при \(x=3\); наибольшего значения нет.
- 2.8(г): наименьшего значения нет, \(\inf y=5\); наибольшее значение \(10\) при \(x=1\).
2.4(б)
Пусть \(x_1<x_2\). Тогда для нечётных степеней:
\[ x_1^3<x_2^3,\qquad x_1^5<x_2^5. \]
После умножения на отрицательные числа знаки меняются:
\[ -x_1^3>-x_2^3,\qquad -6x_1^5>-6x_2^5. \]
Складывая неравенства и прибавляя \(5\), получаем:
\[ 5-x_1^3-6x_1^5>5-x_2^3-6x_2^5. \]
Значит, при увеличении \(x\) значение функции уменьшается:
\[ \boxed{\text{функция строго убывает на } \mathbb R.} \]
2.6(в)
\[ y=-2x^2-6x+15. \]
Выделим полный квадрат:
\[ \begin{aligned} y&=-2\left(x^2+3x\right)+15\\ &=-2\left(x+\frac32\right)^2+\frac{39}{2}. \end{aligned} \]
Так как
\[ \left(x+\frac32\right)^2\ge 0, \]
то
\[ -2\left(x+\frac32\right)^2\le 0. \]
Следовательно,
\[ y\le \frac{39}{2}. \]
Равенство достигается при \(x=-\dfrac32\). При больших по модулю \(x\) значение \(y\) неограниченно уменьшается.
\[ \boxed{\text{Сверху ограничена, снизу не ограничена.}} \]
2.6(г)
\[ y=\frac{5-2x}{1-x},\qquad x<1. \]
Представим дробь в удобном виде:
\[ y=\frac{2(1-x)+3}{1-x} =2+\frac{3}{1-x}. \]
Так как \(x<1\), то \(1-x>0\), поэтому
\[ \frac{3}{1-x}>0, \]
и значит,
\[ y>2. \]
При \(x\to 1-\) знаменатель стремится к нулю справа, поэтому
\[ y\to+\infty. \]
Итак,
\[ \boxed{\text{функция ограничена снизу числом }2,\text{ но не ограничена сверху}.} \]
Число \(2\) не является наименьшим значением, так как равенство \(y=2\) невозможно.
2.8(в)
\[ y=3-4x,\qquad x\in(-\infty;3]. \]
Функция убывает, так как коэффициент при \(x\) отрицательный. Поэтому наибольшее допустимое \(x\), равное \(3\), даёт наименьшее значение:
\[ y(3)=3-4\cdot3=-9. \]
При \(x\to-\infty\):
\[ y=3-4x\to+\infty. \]
Ответ:
\[ \boxed{y_{\min}=-9\text{ при }x=3;} \]
\[ \boxed{\text{наибольшего значения нет}.} \]
Проверка: множество значений функции — \(\boxed{[-9;+\infty)}\).
2.8(г)
\[ y=x^2+4x+5=(x+2)^2+1,\qquad x\in(0;1]. \]
На промежутке \((0;1]\) функция возрастает, поскольку вершина параболы находится в точке \(x=-2\), левее данного промежутка.
При \(x\to0+\):
\[ y\to 5, \]
но \(x=0\) не входит в область, поэтому значение \(5\) не достигается.
При \(x=1\):
\[ y(1)=1+4+5=10. \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{наименьшего значения нет, }\inf y=5;} \]
\[ \boxed{y_{\max}=10\text{ при }x=1.} \]
Диапазон значений:
\[ \boxed{y\in(5;10]}. \]
