реши 77 номер
Вычисление математического выражения
Я хочу проанализировать выражение: \((( a^6 / b^{-3} )^4)^{1/12}\). Структура скобок кажется важной для проверки результата. Мне нужно упомянуть условия: \(a > 0\) и \(b > 0\), чтобы правильно применять правила для дробных степеней. Если \(a\) или \(b\) отрицательны, упрощения могут измениться. Для рациональных показателей переменные в учебниках часто считаются положительными. Крайне важно уточнить эти ограничения, чтобы избежать путаницы.
Уточнение этапов выражения
Если область определения не указана, следует придерживаться простого подхода — обычно предполагается, что \(a, b > 0\). Мой итоговый ответ, вероятно, включает:
- Для \(a^{-3}b^4\) это упрощается до \(\frac{b^4}{a^3}\).
- Затем для \(a^2b\).
Мне нужно включить проверки показателей: \((a^4)^{-3/4} = a^{-3}\), а для произведения получаю \(a^6 / b^{-3} = a^6 b^3\). После вычисления вижу, что \(((...)^4)^{1/12} = (a^2b)\), поэтому проверки подтверждают правильность!
Краткий ответ:
\[ \boxed{\frac{b^4}{a^3}} \]
\[ \boxed{a^2b} \]
Решение
Используем правила: \[ (x^m)^n=x^{mn},\qquad \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n},\qquad x^{-n}=\frac1{x^n}. \]
1)
\[
(a^4)^{-\frac34}\cdot (b^{-\frac23})^{-6}
=a^{4\cdot(-\frac34)}\cdot b^{(-\frac23)\cdot(-6)}
=a^{-3}\cdot b^4
=\frac{b^4}{a^3}.
\]
2)
\[
\left(\left(\frac{a^6}{b^{-3}}\right)^4\right)^{\frac1{12}}
=\left(a^6b^3\right)^{\frac4{12}}
=\left(a^6b^3\right)^{\frac13}
=a^2b.
\]
Проверка показателей во втором примере: \[ 6\cdot\frac{4}{12}=2,\qquad 3\cdot\frac{4}{12}=1. \]
