реши номер 97
Разбор задач по математике на русском языке
Мне нужно ответить на русском языке и разобрать детали задачи 97. Следует рассмотреть все подпункты. Сначала я мысленно поверну изображение на 90 градусов, чтобы проверить математические выражения.
Выражения, по-видимому, содержат комбинации рациональных дробей, которые нужно упростить. Также необходимо чётко объяснить принципы и ограничения области определения при рассмотрении каждого подпункта.
Для получения правильных результатов важны точные вычисления и внимательная работа со знаками!
Уточнение математических принципов
Я рассматриваю, как работать с дробями с разными знаменателями. Для переменной \( b \) очевидно, что \( a \) не может быть равно -3 или 3, чтобы знаменатели не обращались в ноль. Возможно, удобнее использовать более простую форму \((a-3)^2(a+3)^2\) вместо \((a^2-9)^2\), если сокращения не происходит.
Для \( c \) квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x + 4 \) не имеет действительных корней, поэтому нужно внимательно вычислить результаты при заданных значениях.
Для \( d \) я получаю \( 1/(a-1) \), проверяя значения, чтобы подтвердить результат.
Определение условий для переменных
Я размышляю, может ли d быть равным нулю, если q — действительная переменная, большая нуля, а значит, a не должно быть равно единице. Однако исходный знаменатель q для действительных чисел никогда не может быть равен нулю. Если дополнительных предположений нет, вероятно, подразумевается, что рассматриваемые переменные являются действительными. Нужно чётко указать эти условия, поскольку они важны для правильного понимания задачи!
Подготовка решения задачи на русском языке
Нужно составить краткую «Проверку» с примером, не перегружая решение. Загруженное пользователем изображение может быть перевёрнуто, но это не должно стать проблемой. Нужно решить только задачу 97, а не задачу 98, что упрощает работу. Постараюсь использовать около 500 русских слов, начав с фразы «Сначала — ответ», а затем привести объяснения. Возможно, потребуется показать как промежуточные, так и окончательные упрощённые формы выражений, поэтому следует обеспечить ясность изложения.
Краткий ответ:
а) \(\displaystyle -\frac{8}{2a+b}\);
б) \(\displaystyle \frac{36}{(a^2-9)^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\);
г) \(\displaystyle \frac{1}{a-1}\).
Решение
а) Разложим знаменатели на множители:
\[ 2a^2-ab=a(2a-b), \]
\[ 4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b), \]
\[ 2a^2+ab=a(2a+b). \]
Тогда общий знаменатель:
\[ a(2a-b)(2a+b). \]
\[ \begin{aligned} &\frac{2a+b}{a(2a-b)} -\frac{16a}{(2a-b)(2a+b)} -\frac{2a-b}{a(2a+b)} \\ &=\frac{(2a+b)^2-16a^2-(2a-b)^2} {a(2a-b)(2a+b)}. \end{aligned} \]
Так как
\[ (2a+b)^2-(2a-b)^2=8ab, \]
получаем:
\[ \frac{8ab-16a^2}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} = -\frac8{2a+b}. \]
б) Используем \(a^2-9=(a-3)(a+3)\):
\[ \begin{aligned} &\frac1{(a-3)^2}-\frac2{a^2-9}+\frac1{(a+3)^2} \\ &=\frac{(a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2} {(a-3)^2(a+3)^2}. \end{aligned} \]
Числитель — это квадрат разности:
\[ (a+3)^2-2(a+3)(a-3)+(a-3)^2 =[(a+3)-(a-3)]^2=36. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2} =\frac{36}{(a^2-9)^2}}. \]
в) Разложим разность кубов:
\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4). \]
\[ \begin{aligned} &\frac{x-2}{x^2+2x+4} -\frac{6x}{x^3-8} +\frac1{x-2} \\ &=\frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)} {(x-2)(x^2+2x+4)}. \end{aligned} \]
Числитель:
\[ (x-2)^2-6x+x^2+2x+4 =2x^2-8x+8=2(x-2)^2. \]
Поэтому
\[ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}. \]
г) Обозначим \(a^2+a+1=q\). Тогда
\[ a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)=(a-1)q. \]
\[ \begin{aligned} &\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)q} -\frac{1-2a}{q} -\frac3{a-1} \\ &=\frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3q} {(a-1)q}. \end{aligned} \]
Числитель упрощается:
\[ 2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1) =a^2+a+1=q. \]
Следовательно,
\[ \frac{q}{(a-1)q}=\frac1{a-1}. \]
Ограничения исходных выражений:
а) \(a\ne0,\;2a-b\ne0,\;2a+b\ne0\);
б) \(a\ne\pm3\);
в) \(x\ne2\);
г) \(a\ne1\).
