Конспект кратко и понятно
Краткий конспект: логарифмы
1. Определение
Логарифм числа \(c\) по основанию \(a\) — это показатель степени \(b\), в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(c\):
\[ \log_a c=b \iff a^b=c. \]
Условия:
\[ a>0,\quad a\ne1,\quad c>0. \]
Если основание \(10\), пишут:
\[ \lg c=\log_{10}c. \]
Например:
\[ \log_2 8=3,\quad \text{так как }2^3=8. \]
2. Основные тождества
\[ a^{\log_a c}=c, \]
\[ \log_a(a^b)=b. \]
Они позволяют переходить от логарифма к степени и наоборот.
3. Свойства логарифмов
При \(x>0,\ y>0\):
\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y; \]
\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y; \]
\[ \log_a x^k=k\log_a x; \]
\[ \log_a\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_a x. \]
Главный принцип: свойства логарифмов получаются из свойств степеней. Например,
\[ a^u=x,\quad a^v=y \]
\[ xy=a^u\cdot a^v=a^{u+v}, \]
поэтому
\[ \log_a(xy)=u+v=\log_a x+\log_a y. \]
4. Переход к новому основанию
\[ \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}. \]
Также:
\[ \log_a x=(\log_a b)\log_b x. \]
Часто удобно переходить к основанию \(10\) или \(2\).
Как применять свойства
1. Вычисление логарифмов
Представляем число как степень основания:
\[ \log_2 256=\log_2 2^8=8. \]
\[ \lg 0{,}001=\lg 10^{-3}=-3. \]
2. Логарифмирование
Нужно раскрыть логарифм выражения:
\[ A=(100a^{2/3}b)^3. \]
Тогда
\[ \begin{aligned} \lg A &=3\left(\lg100+\frac23\lg a+\lg b\right)\\ &=6+2\lg a+3\lg b. \end{aligned} \]
3. Потенцирование
Нужно восстановить выражение по его логарифму:
\[ \log_2 A=-1+2\log_2a-3\log_2b. \]
Представим каждое слагаемое как логарифм:
\[ -1=\log_2\frac12. \]
Тогда
\[ \log_2 A =\log_2\frac12+\log_2a^2-\log_2b^3 =\log_2\frac{a^2}{2b^3}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{A=\frac{a^2}{2b^3}}. \]
Проверка:
\[ \log_2\frac{a^2}{2b^3} =2\log_2a-1-3\log_2b, \]
что совпадает с условием.
4. Приведение логарифмов к одному основанию
Например:
\[ A=\log_{\frac14}a-\log_{\sqrt2}a+2\log_8a. \]
Переходим к основанию \(2\):
\[ \log_{\frac14}a=-\frac12\log_2a, \]
\[ \log_{\sqrt2}a=2\log_2a, \]
\[ \log_8a=\frac13\log_2a. \]
Поэтому
\[ \begin{aligned} A &=\left(-\frac12-2+\frac23\right)\log_2a\\ &=-\frac{11}{6}\log_2a. \end{aligned} \]
Главное применение
Логарифмы помогают найти неизвестный показатель степени:
\[ a^x=b \quad\Longrightarrow\quad x=\log_a b. \]
То есть логарифм — это «обратная операция» к возведению в степень.
