Реши с графиками
Краткий ответ
- \(\boxed{x\in(-5;-1)}\)
- \(\boxed{x\in\left[1;\frac43\right]}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)}\)
- \(\boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;6)\cup(6;+\infty)}\)
- \(\boxed{\varnothing}\)
Принцип графического решения
Находим нули функции — точки пересечения параболы с осью \(Ox\).
- Если \(a>0\), парабола направлена вверх: знак «минус» между корнями, «плюс» снаружи.
- Если \(a<0\), парабола направлена вниз: знак «плюс» между корнями.
- \(\circ\) — точка не входит в ответ, \(\bullet\) — входит.
1) \(-x^2-6x-5>0\)
Разложим на множители:
\[ -x^2-6x-5=-(x^2+6x+5)=-(x+1)(x+5). \]
Корни:
\[ x_1=-5,\qquad x_2=-1. \]
Парабола направлена вниз, поэтому она выше оси \(Ox\) между корнями:
−∞──────○════════○──────+∞
−5 −1
\[ \boxed{x\in(-5;-1)} \]
2) \(3x^2-7x+4\le 0\)
\[ 3x^2-7x+4=(3x-4)(x-1). \]
Корни:
\[ x_1=1,\qquad x_2=\frac43. \]
Парабола направлена вверх, поэтому значения не больше нуля между корнями. Границы включаются:
−∞────────●════════●────────+∞
1 4/3
\[ \boxed{x\in\left[1;\frac43\right]} \]
3) \(4x^2-12x\ge 0\)
\[ 4x^2-12x=4x(x-3). \]
Корни:
\[ x_1=0,\qquad x_2=3. \]
Парабола направлена вверх, поэтому она выше оси снаружи корней:
−∞══════●────────────●══════+∞
0 3
\[ \boxed{x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)} \]
4) \(4x^2-9>0\)
\[ 4x^2-9=(2x-3)(2x+3). \]
Корни:
\[ x_1=-\frac32,\qquad x_2=\frac32. \]
Парабола направлена вверх, положительные значения находятся снаружи корней. Точки не включаются:
−∞══════○────────────○══════+∞
−3/2 3/2
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)} \]
5) \(x^2-12x+36>0\)
\[ x^2-12x+36=(x-6)^2. \]
Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=6\):
\[ (x-6)^2>0,\qquad x\ne6. \]
График касается оси \(Ox\) в точке \(x=6\):
−∞════════════○════════════+∞
6
\[ \boxed{x\in(-\infty;6)\cup(6;+\infty)} \]
6) \(3x^2-4x+5\le 0\)
Найдём дискриминант:
\[ D=(-4)^2-4\cdot3\cdot5=16-60=-44<0. \]
Корней нет, а \(a=3>0\), значит парабола направлена вверх и не пересекает ось \(Ox\). Более того,
\[ 3x^2-4x+5 =3\left(x-\frac23\right)^2+\frac{11}{3}>0. \]
Следовательно, значений \(\le0\) нет:
\[ \boxed{\varnothing} \]
Проверка: в нестрогих неравенствах \( \le,\ge \) корни включаются, а в строгих \(<,>\) — не включаются, что отражено на схемах.
