Реши через дискриминант с графиком
Краткий ответ
(В №1 читаю выражение как \(-x^2-6x-5>0\).)
- \(\boxed{x\in(-5;-1)}\)
- \(\boxed{x\in\left[1;\frac43\right]}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)}\)
- \(\boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;6)\cup(6;+\infty)}\)
- \(\boxed{\varnothing}\)
Правило
Для \(ax^2+bx+c\):
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
- Если \(a>0\), парабола направлена вверх: \(\cup\).
- Если \(a<0\), парабола направлена вниз: \(\cap\).
- При \(a>0\) выражение отрицательно между корнями, положительно снаружи.
- При \(a<0\) наоборот.
1) \(-x^2-6x-5>0\)
\[ a=-1,\quad b=-6,\quad c=-5 \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=36-20=16. \]
\[ x_{1,2}=\frac{6\pm4}{-2}. \]
\[ x_1=-5,\qquad x_2=-1. \]
Так как \(a<0\), график направлен вниз, \(\cap\).
Схема знаков:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-5)&-5&(-5;-1)&-1&(-1;+\infty)\\ \hline f(x)&-&0&+&0&- \end{array} \]
Нужно \(f(x)>0\), поэтому:
\[ \boxed{x\in(-5;-1)}. \]
2) \(3x^2-7x+4\leqslant0\)
\[ a=3,\quad b=-7,\quad c=4 \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=49-48=1. \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{6}. \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=\frac43. \]
Так как \(a>0\), график направлен вверх, \(\cup\).
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;1)&1&\left(1;\frac43\right)&\frac43&\left(\frac43;+\infty\right)\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Нужно \(f(x)\leqslant0\), включая корни:
\[ \boxed{x\in\left[1;\frac43\right]}. \]
3) \(4x^2-12x\geqslant0\)
\[ a=4,\quad b=-12,\quad c=0 \]
\[ D=(-12)^2-4\cdot4\cdot0=144. \]
\[ x_{1,2}=\frac{12\pm12}{8}. \]
\[ x_1=0,\qquad x_2=3. \]
График направлен вверх, \(\cup\).
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;0)&0&(0;3)&3&(3;+\infty)\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Нужно \(f(x)\geqslant0\):
\[ \boxed{x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty)}. \]
4) \(4x^2-9>0\)
\[ a=4,\quad b=0,\quad c=-9 \]
\[ D=0^2-4\cdot4\cdot(-9)=144. \]
\[ x_{1,2}=\frac{0\pm12}{8}. \]
\[ x_1=-\frac32,\qquad x_2=\frac32. \]
График направлен вверх, \(\cup\).
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&\left(-\infty;-\frac32\right)&-\frac32& \left(-\frac32;\frac32\right)&\frac32& \left(\frac32;+\infty\right)\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+ \end{array} \]
Нужно строго \(>0\), поэтому корни не включаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right)}. \]
5) \(x^2-12x+36>0\)
\[ a=1,\quad b=-12,\quad c=36 \]
\[ D=(-12)^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0. \]
Один корень:
\[ x_0=\frac{12}{2}=6. \]
График направлен вверх и касается оси \(Ox\) в точке \(x=6\):
\[ \begin{array}{c|ccc} x&(-\infty;6)&6&(6;+\infty)\\ \hline f(x)&+&0&+ \end{array} \]
Также:
\[ x^2-12x+36=(x-6)^2. \]
Квадрат положителен везде, кроме \(x=6\):
\[ \boxed{x\in(-\infty;6)\cup(6;+\infty)}. \]
6) \(3x^2-4x+5\leqslant0\)
\[ a=3,\quad b=-4,\quad c=5 \]
\[ D=(-4)^2-4\cdot3\cdot5=16-60=-44<0. \]
Действительных корней нет. Так как \(a=3>0\), парабола направлена вверх и не пересекает ось \(Ox\). Например:
\[ f(0)=5>0. \]
Значит, выражение положительно при всех \(x\), а условие \(\leqslant0\) невыполнимо:
\[ \boxed{x\in\varnothing}. \]
