Через дескременант

Краткий ответ:

а) \(x_1=3,\ x_2=-5\);

б) \(x_1=\dfrac32,\ x_2=-1\);

в) \(x_1=7,\ x_2=\dfrac13\);

г) действительных корней нет.

Правило

Для квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\):

\[ D=b^2-4ac. \]

Если \(D\geqslant0\), то

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

Решение

а) \(x^2+2x-15=0\)

\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64. \]

\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}2 =\frac{-2\pm8}{2}. \]

\[ x_1=3,\qquad x_2=-5. \]

Проверка: \(3+(-5)=-2\), \(3\cdot(-5)=-15\).

б) \(2x^2-x-3=0\)

\[ D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25. \]

\[ x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2} =\frac{1\pm5}{4}. \]

\[ x_1=\frac{6}{4}=\frac32,\qquad x_2=\frac{-4}{4}=-1. \]

Проверка: \(\dfrac32+(-1)=\dfrac12=-\dfrac ba\),
\(\dfrac32\cdot(-1)=-\dfrac32=\dfrac ca\).

в) \(3x^2-22x+7=0\)

\[ D=(-22)^2-4\cdot3\cdot7=484-84=400. \]

\[ x_{1,2}=\frac{-(-22)\pm\sqrt{400}}{2\cdot3} =\frac{22\pm20}{6}. \]

\[ x_1=7,\qquad x_2=\frac{2}{6}=\frac13. \]

Проверка: \(7+\dfrac13=\dfrac{22}{3}\),
\(7\cdot\dfrac13=\dfrac73\).

г) \(3x^2+6x+10=0\)

\[ D=6^2-4\cdot3\cdot10=36-120=-84. \]

Так как

\[ D<0, \]

уравнение не имеет действительных корней.