113 , 116 и 118
Краткий ответ
113. Упростить:
- \(\displaystyle \frac{2mn}{m^2-n^2}\), \(m\ne n,\ m\ne -n\).
- \(\displaystyle \frac{x^2}{(x+y)^2}\), \(x\ne -y\).
- \(\displaystyle \frac{4-7a}{a(4a^2-1)}\), \(a\ne0,\ a\ne\pm\frac12\).
- \(\displaystyle \frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}\), \(b\ne\pm3\).
- \(\displaystyle \frac1x\), \(x\ne0,\ x\ne-3\).
- \(\displaystyle \frac8{y+2}\), \(y\ne\pm2\).
116.
- \(\displaystyle \frac{b^2+49}{b+7}\), \(b\ne-7\).
- \(\displaystyle 4\), \(c\ne\frac52\).
118.
- \(\displaystyle \frac65\).
- \(\displaystyle \frac7{17}\).
Задание 113
Главный принцип: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю и только потом сократить.
1)
\[ \frac{m+n}{m-n}-\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \]
Так как
\[ m^2-n^2=(m-n)(m+n), \]
то
\[ \frac{(m+n)^2-(m^2+n^2)} {(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+2mn+n^2-m^2-n^2} {m^2-n^2}. \]
\[ \boxed{\frac{2mn}{m^2-n^2}}. \]
2)
\[ \frac{x-y}{x+y}+\frac{y^2}{2xy+x^2+y^2} \]
Поскольку
\[ 2xy+x^2+y^2=(x+y)^2, \]
получаем:
\[ \frac{(x-y)(x+y)+y^2}{(x+y)^2}. \]
\[ (x-y)(x+y)+y^2=x^2-y^2+y^2=x^2. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\frac{x^2}{(x+y)^2}}. \]
3)
\[ \frac{2a}{4a^2-1}-\frac{a+4}{2a^2+a} \]
Разложим знаменатели:
\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1),\qquad 2a^2+a=a(2a+1). \]
Тогда
\[ \frac{2a^2-(a+4)(2a-1)} {a(2a-1)(2a+1)}. \]
Раскроем скобки:
\[ 2a^2-(2a^2+7a-4)=4-7a. \]
Поэтому
\[ \boxed{\frac{4-7a}{a(4a^2-1)}}. \]
4)
\[ \frac{b-2}{b^2+6b+9}-\frac{b}{b^2-9} \]
Разложим знаменатели:
\[ b^2+6b+9=(b+3)^2,\qquad b^2-9=(b-3)(b+3). \]
Общий знаменатель:
\[ (b-3)(b+3)^2. \]
\[ \frac{(b-2)(b-3)-b(b+3)} {(b-3)(b+3)^2}. \]
Числитель:
\[ (b-2)(b-3)-b(b+3) =b^2-5b+6-b^2-3b=6-8b. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}}. \]
5)
\[ \frac{x-6}{x^2+3x}+\frac{x}{x+3}-\frac{x-3}{x} \]
Так как
\[ x^2+3x=x(x+3), \]
то
\[ \frac{(x-6)+x^2-(x-3)(x+3)} {x(x+3)}. \]
\[ (x-6)+x^2-(x^2-9)=x+3. \]
Значит,
\[ \frac{x+3}{x(x+3)}=\boxed{\frac1x}. \]
При этом исходное выражение требует \(x\ne0\) и \(x\ne-3\).
6)
\[ \frac{y+2}{y-2}-\frac{y-2}{y+2}-\frac{16}{y^2-4} \]
Поскольку
\[ y^2-4=(y-2)(y+2), \]
получаем:
\[ \frac{(y+2)^2-(y-2)^2-16} {(y-2)(y+2)}. \]
\[ (y+2)^2-(y-2)^2-16 =8y-16=8(y-2). \]
Следовательно,
\[ \frac{8(y-2)}{(y-2)(y+2)} =\boxed{\frac8{y+2}}. \]
Задание 116
1)
\[ b+7-\frac{14b}{b+7} = \frac{(b+7)^2-14b}{b+7}. \]
\[ (b+7)^2-14b=b^2+14b+49-14b=b^2+49. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{b^2+49}{b+7}}. \]
2)
\[ 5c-\frac{10-29c+10c^2}{2c-5}+2 \]
Разложим числитель дроби:
\[ 10c^2-29c+10=(5c-2)(2c-5). \]
Тогда
\[ 5c-\frac{(5c-2)(2c-5)}{2c-5}+2. \]
\[ =5c-(5c-2)+2=5c-5c+2+2. \]
\[ \boxed{4}. \]
Задание 118
1)
\[ \frac6{5x-20}-\frac{x-5}{x^2-8x+16}, \qquad x=5. \]
Подставим \(x=5\):
\[ \frac6{5\cdot5-20} -\frac{5-5}{5^2-8\cdot5+16} = \frac6{25-20}-\frac0{1}. \]
\[ \boxed{\frac65}. \]
Значение \(x=5\) допустимо, так как знаменатели не равны нулю.
2)
\[ \frac{2y-1}{2y}-\frac{2y}{2y-1} -\frac1{2y-4y^2}, \qquad y=-2\frac37. \]
Сначала упростим выражение:
\[ 2y-4y^2=-2y(2y-1), \]
поэтому
\[ -\frac1{2y-4y^2} = \frac1{2y(2y-1)}. \]
Тогда
\[ \frac{(2y-1)^2-(2y)^2+1} {2y(2y-1)}. \]
\[ (2y-1)^2-(2y)^2+1 =4y^2-4y+1-4y^2+1 =-2(2y-1). \]
Значит,
\[ -\frac{2(2y-1)}{2y(2y-1)} =-\frac1y. \]
Переведём смешанное число:
\[ y=-2\frac37=-\frac{17}{7}. \]
Тогда
\[ -\frac1y=-\frac1{-17/7} =\boxed{\frac7{17}}. \]
