Вот эти надо делать
Краткие ответы
41) Числа: \(5\) и \(5\). Наименьшая сумма кубов: \(250\).
42) Размеры участка: \(3\text{ м}\), \(3\text{ м}\) и \(6\text{ м}\). Наибольшая площадь: \(18\text{ м}^2\).
43) Нет, такой треугольник иметь площадь \(25\text{ см}^2\) не может.
44)
- Минимум: \(y=4\) при \(x=3\).
- Минимум: \(y=-5\) при \(x=1\).
- Максимум: \(y=7\) при \(x=2\).
- Минимум: \(y=-2\) при \(x=1\).
45)
- \(a>0,\ b>0,\ c>0\).
- \(a<0,\ b<0,\ c<0\).
46) Стрела достигнет наибольшей высоты через \(5\) с. Максимальная высота — \(130\) м.
Решение
№ 41
Пусть одно число \(x\), тогда второе \(10-x\).
Сумма кубов:
\[ x^3+(10-x)^3 =30x^2-300x+1000. \]
Выделим квадрат:
\[ 30x^2-300x+1000 =30(x-5)^2+250. \]
Так как \((x-5)^2\geq 0\), наименьшее значение получается при
\[ x-5=0,\qquad x=5. \]
Второе число также равно \(5\).
Проверка:
\[ 5+5=10,\qquad 5^3+5^3=250. \]
№ 42
Пусть \(x\) — ширина участка, а \(y\) — сторона вдоль стены.
Забор нужен с трёх сторон:
\[ 2x+y=12, \qquad y=12-2x. \]
Площадь:
\[ S=xy=x(12-2x) =-2x^2+12x. \]
Выделим квадрат:
\[ S=-2(x-3)^2+18. \]
Максимальная площадь достигается при
\[ x=3\text{ м},\qquad y=12-2\cdot3=6\text{ м}. \]
Значит, размеры участка:
\[ \boxed{3\text{ м},\ 3\text{ м},\ 6\text{ м}}. \]
№ 43
Пусть основание треугольника равно \(a\) см, а высота — \(h\) см.
По условию:
\[ a+h=14. \]
Площадь:
\[ S=\frac{ah}{2}. \]
При фиксированной сумме \(a+h=14\) произведение \(ah\) максимально, когда
\[ a=h=7. \]
Тогда максимальная площадь:
\[ S_{\max}=\frac{7\cdot7}{2}=24{,}5\text{ см}^2. \]
Так как
\[ 24{,}5<25, \]
то треугольник с площадью \(25\text{ см}^2\) невозможен.
№ 44
Используем представление
\[ y=a(x-x_0)^2+y_0. \]
Если \(a>0\), у параболы минимум; если \(a<0\), максимум.
\[ y=x^2-6x+13=(x-3)^2+4. \]
\[ \boxed{x=3,\quad y_{\min}=4}. \]
\[ y=x^2-2x-4=(x-1)^2-5. \]
\[ \boxed{x=1,\quad y_{\min}=-5}. \]
\[ y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7. \]
\[ \boxed{x=2,\quad y_{\max}=7}. \]
\[ y=3x^2-6x+1=3(x-1)^2-2. \]
\[ \boxed{x=1,\quad y_{\min}=-2}. \]
№ 45
Абсцисса вершины параболы:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]
- Ветви направлены вверх, значит
\[ a>0. \]
Абсцисса вершины отрицательна:
\[ -\frac{b}{2a}<0. \]
Так как \(a>0\), получаем
\[ b>0. \]
Ордината вершины положительна. Для параболы, направленной вверх, это означает, что вся парабола находится выше оси \(x\), поэтому
\[ c=y(0)>0. \]
Ответ:
\[ \boxed{a>0,\ b>0,\ c>0}. \]
- Ветви направлены вниз:
\[ a<0. \]
Из условия \(x_0<0\) получаем
\[ b<0. \]
Ордината вершины отрицательна. Поскольку это наибольшее значение параболы, все её значения отрицательны, в частности
\[ c=y(0)<0. \]
Ответ:
\[ \boxed{a<0,\ b<0,\ c<0}. \]
№ 46
Подставим \(g\approx10\):
\[ h(t)=5+50t-\frac{10t^2}{2} =5+50t-5t^2. \]
Выделим квадрат:
\[ h(t)=-5(t-5)^2+130. \]
Коэффициент перед квадратом отрицательный, значит максимальная высота достигается при
\[ t=5\text{ с}. \]
Максимальная высота:
\[ \boxed{h_{\max}=130\text{ м}}. \]
